無限次元タイヒミュラー空間のWeil-Petersson完備化について

2021 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 21K13793
• 研究機関: 山口大学
• 研究代表者: 柳下 剛広 山口大学, 大学院創成科学研究科, 講師 (60781333)
• 研究期間 (年度): 2021-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: Weil-Petersson計量 / タイヒミュラー空間 / 擬等角写像 / リーマン面

研究実績の概要

本研究課題の目標は, 先行結果として得られている有限次元タイヒミュラー空間上のWeil-Petersson計量の完備化, およびそれに付随するWeil-Petersson凸幾何学の理論を無限次元タイヒミュラー空間の場合へと拡張することである.
一般の無限次元タイヒミュラー空間に対してはWeil-Petersson計量を定義できないため, それを許容する部分距離空間である2乗可積分タイヒミュラー空間上で本研究では考察している. いくつかの例を除き, この空間上でWeil-Petersson計量が誘導するWeil-Petersson距離は非完備となる. したがって, この空間のWeil-Petersson距離に関する完備化を考えることができる. 有限次元の場合では, この完備化により現れるタイヒミュラー空間の境界成分はノード付きリーマン面と呼ばれる, 結節点を許容するリーマン面となる.
本年度は2乗可積分タイヒミュラー空間の場合でも上記と同様な結果が得られると予想し研究を進めた. 結果としては残念ながら十分な研究ができていない状態である.
ただ, 有限次元の場合の結果を記載したWolpertによる原論文を見る限り, リーマン面の局所的な変形についての考察が主であることから, 本研究は肯定的な結果が出ると予想される. 次年度も引き続きこの問題についての考察を進め, 完備化に関する結果が得られれば, そこから展開される凸幾何学についての考察を進める.

現在までの達成度 (区分)

4: 遅れている

理由

度重なるコロナウイルス蔓延拡大により教育に関する諸業務が増え, 研究のための十分な時間が割けられなかったことが挙げられる. 同様にコロナウイルスによる行動制限のため研究打合せも十分に行えなかったことも問題解決の進展に影響を及ぼしたと考える.

今後の研究の推進方策

上記に記載したように, 次年度も引き続き2乗可積分タイヒミュラー空間のWeil-Petersson距離に関する完備化についての考察を進める. 完備化に関する肯定的な結果が得られれば, そこから展開される凸幾何学についての考察を進める.
問題が生じるとすれば, 有限次元の場合とは異なる点である, リーマン面の理想境界に関する変形の部分である. もし問題が生じた場合はどの点が本質的かを究明する予定である.
いずれにしろ, 得られた研究成果を日本数学会の研究集会等で幅広く発表する予定である.

次年度使用額が生じた理由

コロナウイルスの度重なる蔓延拡大により、研究集会の中止あるいはオンライン開催が相次ぎ、また研究打合せも中止となった。このため、使用予定であった旅費および講演謝金が残る結果となった。
次年度においては研究集会、研究打合せによる出張旅費および講演謝金に使用する予定である。