| 研究実績の概要 |
本研究課題の目標は, 先行結果として得られている有限次元タイヒミュラー空間上のWeil-Petersson計量の完備化, およびそれに付随するWeil-Petersson凸幾何学の理論を無限次元タイヒミュラー空間の場合へと拡張することである.
一般の無限次元タイヒミュラー空間に対してはWeil-Petersson計量を定義できないため, それを許容する部分距離空間である2乗可積分タイヒミュラー空間上で本研究では考察している. いくつかの例を除き, この空間上でWeil-Petersson計量が誘導するWeil-Petersson距離は非完備となる. したがって, この空間のWeil-Petersson距離に関する完備化を考えることができる. 有限次元の場合では, この完備化により現れるタイヒミュラー空間の境界成分はノード付きリーマン面と呼ばれる, 結節点を許容するリーマン面となる.
本年度では前年度および前々年度に引き続いてWolpertの原論文を勉強し, 無限次元タイヒミュラー空間の場合へと結果が拡張できるかを考察した. 結果としては残念ながら十分な成果が得られていない状況である.
しかし，本年度では非コンパクトリーマン面上の正則関数およびアーベル微分の理論について勉強し，コンパクトリーマン面の場合とは異なる様相を呈していることを理解した．このことから，まずは非コンパクトリーマン面で最も単純な場合について，本研究の目的が達成できるかを見る必要があると考える．
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