| 研究実績の概要 |
完備Riemann多様体Mを2つに分割する閉部分多様体Nが定まっており, その余次元は1とする. このとき, J. Roeによって分割の情報を用いた巡回コサイクルζが導入された. Roeや私などによって, このζを用いてN上の作用素のFredholm指数を引き出す指数定理が証明されている. 本研究ではこのζを次のようなフラクタルが関わる状況で一般化することを目標としている.
N. Higsonによると, ζは2点コンパクト化に対応し, 境界 (2点) の情報を引き出している. そこで, 本研究では, 複雑な境界, 特にフラクタル的な構造をもつ境界によるコンパクト化を考え巡回コサイクルを定義し, 境界の幾何的情報を取り出す指数定理を構築したい. そのためには, 巡回コサイクルの段階的な一般化とフラクタル集合における非可換幾何学の理解が必要になる.
本年度は準備段階として, 丸山氏 (NEC) と共同でフラクタル集合上の非可換幾何学について調べた. 特に, 以前丸山氏と共同で導入した, n次元立方体を基にする自己相似集合に対するFredholm作用素やその変種に注目し, Freholm作用素を用いてフラクタル集合上の非可換幾何学について研究した. 我々が導入したFredholm作用素はA. ConnesがCantor集合上に組み合わせ的に構成したFredholm作用素を組み合わせ的に高次元に一般化したものであるので, 特にConnesのFredholm作用素を用いた先行研究を高次元化することを目指した. ある程度の成果が溜まりつつあるので, 来年度はそれらを整理して論文にする予定である.
|
