| 研究課題/領域番号 |
21K13808
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
渋川 元樹 神戸大学, 理学研究科, 学術研究員 (60737740)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | 特殊函数 / 対称函数 / 可積分系 / 調和解析 / 表現論 / 特殊値 |
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| 研究実績の概要 |
令和3年度は主に次の6つの研究を行った：
1) 2次の量子行列のべき乗の2変数の対称函数による明示公式とその応用、2) パラメータを対称化した1階の差分方程式系を満たす多重特殊函数の特徴付け、3) Chern-Simons行列模型等のSelberg型の多重積分の類似と対称函数の基本公式(特にPieri型公式)の研究、4) mock modular形式の典型例であるZwegersの\mu函数のq差分方程式的観点からの一般化(土見怜史(神戸大学)との共同研究)、5) 対称函数の``2次の''特殊値, 特にいくつかの三角函数の等分値の積の明示公式 (青木美穂(島根大学)との共同研究)、6) 二変数の対称函数の特殊値をの単調性や漸近性についての解析
このうち元来の研究計画と直接関係するのは3)、5)であるが、1)は対称函数あるいは特殊函数の量子群への興味深い応用の一例である。2)は多変数ではなく多重(多パラメータ)特殊函数がパラメータについての対称函数となっているクラスについての研究であり、当初の計画においては想定していなかった対象であった。しかしこれが興味深い対称函数のクラスであることを認識したので、多重ガンマ函数や多重サイン函数等の最も簡単な1階の差分方程式系で定まる特殊函数の特徴付けを行ったのがこの結果である。4)は一変数のq超幾何函数あるいはそれを特徴付ける2階のEuler型のq差分方程式系の研究(特にその漸近解析)と応用である。6)は二変数の対称函数の特殊値についての解析であり、従来あまり研究されてこなかった二階定数係数常差分方程式の解についての漸近解析関連の結果である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
令和3年度は、対称函数やその基本公式そのもの研究よりむしろ、一) その応用(特にChern-Simons模型等の行列模型との関係、応用)、二) 特殊値(特に対称群をGalois群とみなしたときにそれが適当な巡回群に退化している場合の特殊値)、三) 基本公式のモデルケースとなる二変数ないしは一変数の研究、を重点的に研究した。これらはいずれも当初の計画にはなかった研究対象であるが、対称函数や特殊函数それ自身のみならず、数理物理や数論といった他分野においても興味深い課題であることがわかってきた。これは対称函数とその基本公式という本課題の価値の証左であるとみなせ、今後の研究について新たなる展望がいくつも拓けたという点において、順調に進展しているとみなせる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後、特に令和4年度の研究に関しては、前年度の多様な課題の研究を継続しながらも、対称函数の基本公式そのものについての研究も精力的に推進したい。とりわけ以前から重要な課題としている挙げている多変数Meixner多項式についての高階のPieri公式 or q差分方程式を特に二変数の場合に完全に決定し、更にはその二変数Meixner多項式の明示公式も導出したい。その為に必要となるJack多項式、補間Jack多項式あるいは多変数Laguerre多項式のPieri型公式等の基本公式を重点的に研究する。またそれの非自明な退化にあたる多変数Hermite多項式についても、Chern-Simons模型等との関連がわかってきたので、併せて研究する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
主に折からの新型コロナウイルスの世界的パンデミックに伴う研究集会の中止や出張制限にが令和3年度も継続していたことにより、計画通りの予算執行を行えなかった。令和4年度はこの次年度使用額は特に, 本課題と関連する研究集会での講演者の謝礼や旅費の援助等といった用途での使用を計画している。
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