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2021 年度 実施状況報告書

パラメータに依存する Furstenberg measure の絶対連続性

研究課題

研究課題/領域番号 21K13814
研究機関埼玉大学

研究代表者

高橋 悠樹  埼玉大学, 理工学研究科, 助教 (70897769)

研究期間 (年度) 2021-04-01 – 2026-03-31
キーワードQuasiperiodic cocycle / Lyapunov exponent
研究実績の概要

準結晶の数学的構造に関する問題を研究した。準結晶とはその名の通り「結晶ではないが結晶に近い性質を持つ物質」のことである。すなわち、「原子の並び方に一定の規則性が存在するものの、周期性が存在しない物質」のことである。準結晶は1984年に Dan Schechtman により発見された。その業績により、Dan Schechtman は2011年にノーベル化学賞を受賞した。
準結晶のモデルの中でも、一次元の quasiperiodic なモデル、それもシュレーディンガー方程式のポテンシャルが monotonic かつ unbounded な場合についての研究を行った。このとき、対応するシュレーディンガー方程式の Laypunov exponent が analytic であることを証明した。Quasiperiodc なシュレーディンガー方程式を考えるとき、行列の無限積の問題が自然に現れる。Lyapunov exponent とは、この行列の無限積が「どの程度の速さで大きくなるか」という量である。
Lyapunov exponent は quasiperiodic なシュレーディンガー方程式の解析において極めて重要な役割を果たす。シュレーディンガー方程式の多くの情報は、Lyapunov exponent と密接に関係している。よって、今回の結果は、unbounded なポテンシャルを持つ quasiperiodic なシュレーディンガー方程式の解析に役立つのではないかと期待される。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

概ね期待通りの結果を得ている。1パラメータに依存する Furstenberg measure の絶対連続性は、当初の予想よりだいぶ難しい問題であることが分かってきたので、今は関連する問題を研究している。

今後の研究の推進方策

上に述べたように、1パラメータに依存する Furstenberg measure の絶対連続性は、当初の予想よりだいぶ難しい問題であることが分かってきた。よって、絶対連続性を示すのではなく、現在は以下のような問いを主に研究している:
1パラメーターに依存する行列のランダム積を考えたとき、パラメーター領域に bifurcation current と呼ばれる測度が自然に定義される。この bifurcation current がどのような測度かに興味を持っている。これについては、すでにある程度の結果も得られている。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナワクチン非接種のため、海外への出張が不可能となったため。その分は国内出張や研究者の招聘などに充てる予定。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2022 2021

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (2件) (うち招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Invariant measures for Iterated Function Systems with inverses2022

    • 著者名/発表者名
      Y. Takahashi
    • 雑誌名

      J. Fractal Geom.

      巻: - ページ: -

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Analyticity of the Lyapunov exponent of meromorphic monotonic cocycles2022

    • 著者名/発表者名
      Y. Takahashi
    • 雑誌名

      Dyn. Syst.

      巻: - ページ: -

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] Invariant measures for Iterated Function Systems with inverses2022

    • 著者名/発表者名
      Y. Takahashi
    • 学会等名
      Winter workshop of Dynamical Systems
    • 招待講演
  • [学会発表] Analyticity of the Lyapunov exponent of meromorphic monotonic cocycles2021

    • 著者名/発表者名
      Y. Takahashi
    • 学会等名
      Mathematics of Quasiperiodic Order and Relate Topics
    • 招待講演

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公開日: 2022-12-28  

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