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2023 年度 実施状況報告書

モジュラー結び目が開く,数論的不変量と位相的不変量の新時代

研究課題

研究課題/領域番号 21K18141
研究機関九州大学

研究代表者

金子 昌信  九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)

研究分担者 松坂 俊輝  九州大学, 数理学研究院, 助教 (60868157)
研究期間 (年度) 2021-07-09 – 2026-03-31
キーワードモックテータ関数 / モックモジュラー形式 / 結び目不変量 / 実2次体
研究実績の概要

代表者は,修士学生藤澤を指導し,実2次体のcaliberの4を法とする合同類に関する以前からの予想の多くを解決すると共に,新たな命題を証明することが出来た.これは論文にまとめ投稿中である.モジュラー形式とは直接に結びついてはいないが,ある種のモジュラー形式のフーリエ係数との関連など,全く期待できないことではないと思われ,引き続きその関連を調べる動機づけとしても,この種の結果は意味があると思われる.分担者松坂が与えた,もともと平野によって与えられていた特別な実二次体に対する数論的Dijkgraaf-Witten不変量の平方剰余記号を用いた明示公式の新しい知見や,素数定理に類するある種の密度公式も,この文脈で捉えなおすことも可能かも知れない.
また松坂は,保型性の崩れた双曲型Eisenstein級数を考察し、s=0へ解析接続後、そのFourier係数としてj関数のサイクル積分を実現した.双曲型Eisenstein級数は保型形式では無いため,通常のサイ クル積分を定義できないが,サイクル積分の一般化である均質化サイクル積分を導入し双曲型Eisenstein級数に適用することで,二つの双曲元の組に対して定まる整数値関数 (双曲Rademacher記号)を構成した.これはDuke-Imamoglu-Tothにより与えられた2つのモジュラー結び目の絡み数と一致する.また,Rademacher記号の相互法則と類似した関係式を用いることで,双曲Rademacher記号の明示公式を与えた.他にも松坂は,偽テータ関数とWRT不変量に関するいくつかの結果を得た.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

j関数のサイクル積分は本研究課題の出発点となった対象であり,そこで予想されている現象の解明を目標として出発した研究が本研究の前身と言える.従って,これを双曲型Eisenstein級数のFourier係数として実現した成果は,一つのマイルストーンとして大きな意味を持つ.またモジュラー結び目の絡み数を双曲Rademacher記号として理解する結果も,研究計画の一端を実現していると言え,計画は概ね順調に進んでいると判断する.

今後の研究の推進方策

コロナの影響からほぼ脱したので,対面での研究交流を活発化させながら,モックモジュラー形式,調和マース形式などの関連研究を調べつつ,モジュラー結び目,そして楕円モジュラー j-関数の実二次点での値をキーワードとした研究を引き続き進めていく.いまだ十分には実現したとは言えない,実二次体や不定値二次形式の数論に資する数論的不変量を取り出していくことを昨年度に引き続いて目標として研究を進める. クライン群の保型形式やBianchiモジュラー形式などにまで枠組みを広げられればよいが,そのために専門家による情報提供なども受けていく. caliberについての研究も,余り多くの研究者が取り組んでいない分野でもあり,我々のグループで発展させていかなければならないと考えている.モジュラー関数との関連を見出すべく,関連研究者と議論を進めていく.多重ゼータ値関連の研究も,数理物理を架け橋として繋がる可能性が皆無ではない.本研究に活かせるところは活かし,引き続き推進していく.

次年度使用額が生じた理由

代表者が年度中に新型コロナ感染症に感染し,後遺症にも悩まされた影響で,公務の比較的少ない前期中の外国渡航を断念せざるを得なかった.後期は講義の他多くの修士学生の指導のため,十分に旅費を消化できなかった.水野との議論を予定していたが,彼が年度中に大学を異動したため,これも時間が取れなかった.次年度はドイツ,フランスに渡航し,ZagierやKontsevichと議論を行う.またZudilinやImamogluなどを招聘し,連続講義や講演を行ってもらう.

  • 研究成果

    (25件)

すべて 2024 2023

すべて 雑誌論文 (9件) (うち国際共著 1件、 査読あり 9件) 学会発表 (16件) (うち国際学会 7件、 招待講演 13件)

  • [雑誌論文] Multiple L-values of level four, poly-Euler numbers, and related zeta functions2024

    • 著者名/発表者名
      Kaneko Masanobu, Hirofumi Tsumura
    • 雑誌名

      Tohoku Math. J.

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Modular Transformations of Homological Blocks for Seifert Fibered Homology 3-Spheres2024

    • 著者名/発表者名
      Matsusaka Toshiki、Terashima Yuji
    • 雑誌名

      Communications in Mathematical Physics

      巻: 405 ページ: No. 48, 25pp

    • DOI

      10.1007/s00220-024-04939-2

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hikami’s observations on unified WRT invariants and false theta functions2024

    • 著者名/発表者名
      Toshiki Matsusaka
    • 雑誌名

      "Low Dimensional Topology and Number Theory" Springer Proceedings in Mathematics & Statistics

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] How long can k-Gobel sequences remain integers functions2024

    • 著者名/発表者名
      Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka, Koki Tsuchida
    • 雑誌名

      The American Mathematical Monthly

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On finite multiple zeta values of level two2023

    • 著者名/発表者名
      Kaneko Masanobu、Murakami Takuya、Yoshihara Amane
    • 雑誌名

      Pure and Applied Mathematics Quarterly

      巻: 19 ページ: 267~280

    • DOI

      10.4310/PAMQ.2023.v19.n1.a10

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A study of a Fuchsian system of rank 8 in 3 variables and the ordinary differential equations as its restrictions2023

    • 著者名/発表者名
      Akihito Ebisu, Yoshishige Haraoka, Masanobu Kaneko, Hiroyuki Ochiai, Takeshi Sasaki, Masaaki Yoshida
    • 雑誌名

      Osaka J. Math.

      巻: 60, no.1 ページ: 153~206

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Arithmetic Dijkgraaf?Witten invariants for real quadratic fields, quadratic residue graphs, and density formulas2023

    • 著者名/発表者名
      Deng Yuqi、Kurimaru Riku、Matsusaka Toshiki
    • 雑誌名

      Research in Number Theory

      巻: 9 ページ: No. 70, 16pp

    • DOI

      10.1007/s40993-023-00471-9

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Curious congruences for cyclotomic polynomials II2023

    • 著者名/発表者名
      Matsusaka Toshiki、Shibukawa Genki
    • 雑誌名

      Research in Number Theory

      巻: 10 ページ: No. 3, 9pp

    • DOI

      10.1007/s40993-023-00489-z

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A hyperbolic analogue of the Rademacher symbol2023

    • 著者名/発表者名
      Matsusaka Toshiki
    • 雑誌名

      Mathematische Annalen

      巻: 388 ページ: 2843~2886

    • DOI

      10.1007/s00208-023-02588-9

    • 査読あり
  • [学会発表] On finite analogues of Euler's constant2024

    • 著者名/発表者名
      Masanobu Kaneko
    • 学会等名
      NCTS Number Theory Seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Modular knots, automorphic forms, and the Rademacher symbols2024

    • 著者名/発表者名
      Toshiki Matsusaka
    • 学会等名
      2024 Workshop on Number Theory and Algebra
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Tales of integers2024

    • 著者名/発表者名
      Toshiki Matsusaka
    • 学会等名
      2024 Workshop on Number Theory and Algebra
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] How long can k-Gobel sequences remain integers?2024

    • 著者名/発表者名
      松坂 俊輝
    • 学会等名
      第17回ゼータ若手研究集会
  • [学会発表] Introduction to quantum modular forms & discontinuity property of Habiro series2024

    • 著者名/発表者名
      Toshiki Matsusaka
    • 学会等名
      Low dimensional topology and number theory XV
    • 招待講演
  • [学会発表] 崩れた保型性を持つq-級数について2024

    • 著者名/発表者名
      松坂 俊輝
    • 学会等名
      研究集会「q級数とその周辺」
    • 招待講演
  • [学会発表] Kaneko's val function and a hyperbolic analogue of Rademacher's symbol2024

    • 著者名/発表者名
      Toshiki Matsusaka
    • 学会等名
      UNIST Number Theory Seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Multiple L-values of conductor four, Entringer numbers, and modular forms2023

    • 著者名/発表者名
      Masanobu Kaneko
    • 学会等名
      Number Theory Seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Multiple L-values of conductor four, Entringer numbers, and modular forms2023

    • 著者名/発表者名
      Masanobu Kaneko
    • 学会等名
      The 2nd International Workshop on Multiple Zeta Values and Related Fields
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Prime numbers and multiple zeta values2023

    • 著者名/発表者名
      金子昌信
    • 学会等名
      談話会
    • 招待講演
  • [学会発表] On finite multiple zeta values and related topics2023

    • 著者名/発表者名
      金子昌信
    • 学会等名
      第19回代数・解析・幾何学セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Discontinuity property of a certain Habiro series at roots of unity2023

    • 著者名/発表者名
      Toshiki Matsusaka
    • 学会等名
      International Seminar on Automorphic Forms
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Curious congruences for cyclotomic polynomials2023

    • 著者名/発表者名
      松坂 俊輝
    • 学会等名
      RIMS共同研究(公開型)「解析的整数論とその周辺」
  • [学会発表] How long can k-Gobel sequences remain integers?2023

    • 著者名/発表者名
      松坂 俊輝
    • 学会等名
      第149回日本数学会九州支部例会
  • [学会発表] 双曲Rademacher記号2023

    • 著者名/発表者名
      松坂 俊輝
    • 学会等名
      数論合同セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] モックモジュラー形式と数論2023

    • 著者名/発表者名
      松坂 俊輝
    • 学会等名
      数理談話会
    • 招待講演

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公開日: 2024-12-25  

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