2022 年度実施状況報告書

離散可積分系とディオファントス問題

研究課題

研究課題/領域番号	21K18577
研究機関	京都大学
研究代表者	伊藤哲史京都大学, 理学研究科, 准教授 (10456840)
研究分担者	谷口隆神戸大学, 理学研究科, 教授 (60422391) 内田幸寛東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90533258) 大下達也群馬大学, 共同教育学部, 准教授 (70712420) 石塚裕大九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (50761136)
研究期間 (年度)	2021-07-09 – 2024-03-31
キーワード	ディオファントス問題 / アーベル多様体 / 離散可積分系
研究実績の概要	本研究課題では、状態遷移が離散的な系である離散可積分系を代数多様体の有理点と結びつけることでディオファントス問題に応用する。また、ディオファントス問題に関する数論の知見を応用して離散可積分系の性質の解明に挑戦する。従来は別々の研究対象として考えられていた離散可積分系とディオファントス問題を、一つの数学的対象・現象の異なる側面としてとらえて研究を進める。本年度はソモス型と呼ばれる具体的な漸化式で定まる数列と、種数2の超楕円曲線のヤコビ多様体の有理点の関係について研究を行った。カンターの等分多項式の性質を応用することで、特別なパラメータのソモス型数列に対し、その法p周期と有限体上の有理点の周期の間の関係を示すことができた。この結果は、楕円可除列(elliptic divisibility sequence)と呼ばれる数列と楕円曲線の有理点の関係の種数2類似と考えることができる。本年度の研究により、超楕円曲線の等分多項式は、ソモス型数列よりも多くの情報を持っていることが明らかになった。幾何的な研究をさらに進めるには、離散可積分系に付随するラックス対から定まる代数曲線上の連接層を計算する必要があると考えられるため、次年度も継続して研究を行う。また、前年度の研究で観察された、アーベル多様体を用いても現時点では説明できない性質を持つソモス型数列については、追加で数値実験を行うなど、継続して研究を行った。まだ解明されていない現象が隠れていると思われるため、次年度もさらに継続して研究を行う予定である。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由本研究課題では、理論的・幾何的な考察と、計算機による数値実験の双方を行うことで研究を進める計画となっている。本年度の研究において、特別なパラメータを持つソモス型数列に対し、超楕円曲線の等分多項式と結びつけることで、法p周期の性質を研究することができた。この結果は離散可積分系と代数幾何を結びつけて、整数論的に非自明な結論を得るという本研究課題の内容に沿ったものであり、おおむね当初の予定通りの結果が得られているといえる。今後も継続して研究を進める予定である。また、計算機による数値実験についても、おおむね期待通りの結果が得られている。パラメータによっては現時点では理論的に説明できない数列が得られることも観察されているが、その仕組みは依然として解明されていない。まだ未知のことが多いため、次年度も継続して研究を行う予定である。以上の理由により、本研究課題はおおむね順調に進展していると言える。
今後の研究の推進方策	前年度の研究に引き続き、理論的・幾何的な考察と計算機による数値実験の双方を行うことで研究を進める。理論的には、代数曲線のヤコビ多様体上の有理点の公式と離散可積分系の関係を解明する必要がある。楕円曲線や種数2の超楕円曲線の場合の先行研究を元に研究を進める。また、前年度までの研究により、等分多項式の整数論的性質が重要であることが分かってきたので、等分多項式と離散可積分系の関係を研究する。ヤコビ多様体やベクトル束のモジュライ空間に関係するディオファントス問題は、数論統計の観点からも興味深い研究対象である。本研究により得られた知見の数論統計への応用も模索する。これらの研究には計算機による数値実験が不可欠であるため、理論研究と並行して、不変量を計算するアルゴリズムの開発も行う。これらの研究を進めて、可積分とは限らない、より広いクラスの離散力学系の研究にも挑戦する。近年の研究において、クラスター代数よりも広いクラスにおいてローラン性が成り立つことが分かってきたが、ディオファントス問題との関係はほとんど分かっていない。そこで、ローラン性を持つ離散力学系の数論的性質の解明にも挑戦する。
次年度使用額が生じた理由	感染症の影響で、当初計画していた研究打ち合わせや出張、研究者招聘がオンラインとなった。感染症が落ち着いてきたため、本年度は対面での研究打ち合わせを行う。また、出張や研究者招聘を行う。