| 研究実績の概要 |
本研究では有限群のみを考える．群のholomorphに含まれる正則部分群は，ガロア拡大上のホップ・ガロア構造およびskew braceと関連していることが知られている．また，skew braceはYang-Baxter方程式の解を調べるために定義された代数的構造である．任意の同位数をもつ有限群GとNに対して，Nのholomorphの中にGと同型な正則部分群が存在するとき，(G,N)がrealizableであると呼ぼう．ホップ・ガロア構造およびskew braceの存在性と関連するため，(G,N)がrealizableか否かは重要な問題であり，様々な群のペアに対して研究されてきた．
本研究では，Gが巡回群である場合に着目し，(G,N)がrealizableとなるような群Nをすべて特定することに成功した．また，(G,N)がrealizableとなるにはGが非可解群であればNも非可解群であるという，Byottによる予想があり，その逆は成立しないことが知られている．つまり，Nが非可解群でGが可解群であるようなrealizableペア(G,N)が存在する．本研究では，このようなペア(G,N)のNになり得る単純群Nをすべて特定することに成功した．その証明において，群の分解を用いた，新たなholomorphの正則部分群の構成方法も生み出した．
最後に，群Nのholomorphの正則部分群の中で，Nと同型でありかつ正規部分群でもあるものは群をなす．この群はT(N)と表記され，様々な群Nに対して調べられてきた．本研究では，関連してT(N)についても取り組んだ．特に，冪零度2をもつp-群(pは奇素数)Nに注目し，すべての有限群が適当なT(N)に埋め込めることを証明した．また，T(N)の位数がp-1以上であることが知られており，本研究では，T(N)の位数がこの最小値p-1に等しいNの例も挙げた．
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