| 研究課題/領域番号 |
21K20324
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
日下部 佑太 京都大学, 理学研究科, 助教 (60913861)
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| 研究期間 (年度) |
2021-08-30 – 2024-03-31
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| キーワード | 岡の原理 / 岡多様体 / Stein多様体 / アファイン代数多様体 / 楕円性 / 補間定理 / 基本群 / ホモトピー型 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題の核心をなす問いとして、複素幾何学で確立された岡多様体のある種の楕円性の類似が他の圏においても成り立つかということがあった。代数多様体の圏においては、代数的楕円性と代数的Runge型近似定理の同値性が既に知られており、この同値な条件を満たすものが代数多様体の圏における岡多様体の対応物であることが期待されている。一方で代数的楕円多様体に対しても、ある定式化の代数的な岡の原理は成り立たないことが確認されており、多くの解決すべき問題が残っている研究対象である。
以上のような背景のもと、本年度は主に代数的楕円多様体の性質を研究した。まず、岡多様体が複素Euclid空間からの全射正則写像をもつというForstnericの結果の代数多様体の圏における対応物を証明した。より具体的には、任意の代数的楕円多様体がアファイン空間からの代数的全射をもつことを示した。この結果はArzhantsevやForstnericの定理を一般化し、彼らの問題への肯定的な解答も与えている。また応用として、代数多様体の圏におけるジェット補間定理の対応物も得ることができた。
もう一つの研究成果として、任意の代数的楕円多様体の基本群が有限であること及び任意の有限群に対してそれを基本群とする代数的楕円多様体が存在することを確かめた。この研究は岡多様体のホモトピー型に関するGromovの問題を動機としており、岡多様体の代数幾何学的側面だけでなく位相幾何学的側面も同時に解明することを目指すものである。
本年度に得られた以上の研究成果は、代数的楕円多様体が代数多様体の圏における岡多様体の対応物であるという予想をより強くするものであり、今後は適切な定式化のもとで代数的な岡の原理の確立が期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
岡多様体の性質の代数的類似が代数的楕円多様体に対して成り立つかどうかを研究することで、本研究の課題の一つである岡の原理の代数幾何学的側面が明らかになってきた。
特に代数的ジェット補間定理は、代数的楕円多様体が代数多様体の圏における岡多様体の対応物であることを一層強く示唆するものであり、代数的楕円多様体に対する代数的な岡の原理確立への着実な進展である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は本年度得られた結果をスキームに一般化することで岡多様体の代数幾何学的側面をより明確にし、スキームに対する代数的な岡の原理の確立を目指す。またこの研究により岡多様体論とA^1ホモトピー論の関係が見えてくるため、岡多様体論をモデル圏の視点から研究したLarussonの結果を参考に、A^1ホモトピー論の視点からも岡多様体論を研究する。
これらの研究により得られる岡多様体論と代数幾何学の繋がりを用いることで、代数幾何学における定理を解析的な岡多様体論に輸入することも期待できる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度と同様にCOVID-19の感染拡大に伴い、参加予定だった国内外の研究集会がオンラインで開催されたことや海外渡航が困難であったことから、必要であったはずの旅費を使用しなかったことが主な理由である。
次年度は海外現地における研究集会での発表が既に3件決まっており、また秋以降には岡多様体論で最も重要な研究者であるForstnericのもとに滞在することも決まっているため、次年度使用額はそれに伴う旅費や代数的岡多様体論の研究者の招聘などに活用する。
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