| 研究実績の概要 |
本課題の主目的は、従来のn圏とホモトピー的なn圏である(∞,n)圏の関係について理解を深めることである。最終年度である本年度は特にn=2の場合のGrayテンソルについての研究を行った。
従来の2圏のGrayテンソルは、Gray超立方体と呼ばれる比較的シンプルな2圏のGrayテンソルを「m次元超立方体とn次元超立方体のテンソルは(m+n)次元超立方体である」と定義し、そこからDay拡張を用いることによって定義することができる。本研究ではJohns Hopkins大学のTimothy Campion氏との共同で、(∞,2)圏のGrayテンソルも同様にGray超立方体を用いた特徴付けられることを示した。より厳密には、これまで既に(∞,2)圏のGrayテンソルは複数の定義が提案されていたが、そのうちの1つである2-quasi-categoryを用いた定義が、ホモトピー的なDay拡張としての普遍的性質を持つことを証明した。(∞,2)圏のGrayテンソルの普遍的性質を示した結果としては、本研究が最初のものになる。
また本年度は(∞,n)圏への新しいアプローチとして、代数的高次圏についても理解を深めた。代数的高次圏は従来のn圏と(∞,n)圏の中間に位置するような概念だが、その基本的な定義以外についてはあまり多くのことが知られていない。本研究ではMacquarie大学の藤井宗一郎氏と京都大学の星野恵佑氏との共同で、代数的高次圏内の適切な意味で可逆である射が、合成について閉じていることを示した。この結果は、将来の関連研究全てにおいて必要になるような基礎であると考えている。
初年度に行った研究と併せ、本研究全体のテーマとして「どれだけ(∞,n)圏の計算を従来のn圏の計算に帰着できるか」という面において理解を大きく深めることに成功した。
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