| 研究課題/領域番号 |
22244002
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
川又 雄二郎 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (90126037)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 極小モデル / 導来圏 / 森夢空間 / コックス環 / カラビヤウ / ファノ / クレパント / フロップ |
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| 研究概要 |
今年度も極小モデル理論に関係した研究を継続し新たな結果を得た。極小モデル・プログラムが特によく機能する多様体が森夢空間である。この空間はすべての直線束を一斉に考えたときの切断環（コックス環）が有限生成であるという条件で特徴づけられている。例えば有名なＢＣＨＭ論文では、ファノ対が森夢空間になることが示されている。大川新之介氏との共同研究では、森夢空間において、あるＱ因子が存在してカラビヤウ対になるための必要十分条件は、コックス環が対数的標準特異点と持つことであることを証明した。また、あるQ因子が存在してファノ対になるための必要十分条件は、コックス環が対数的末端特異点と持つことであるというＧＯＳＴ論文の別証明も与えた。
極小モデル理論と導来圏理論の類似性を追求した。ここで問題になるのは、特異点を持つような代数多様体に対しても、滑らかな代数多様体の導来圏にような良い性質を持った導来圏を定義することである。今年度は、特別な末端特異点を持つ３次元代数多様体に対して、ある種の意味でクレパント特異点解消に相当する導来圏を定義した。この研究はまだ継続中である。
さらに今年度は、有限生成定理の証明を主題とする本を書いた。極小モデル理論を初歩から解説し、最新のＢＣＨＭ定理の証明まで含めることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
順調に重要な結果や、重要な結果につながることが期待できる部分的結果が出ている。思わぬ画期的な成果ではないが、このような結果を積み上げていくことが重要である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もこのペースを維持し、重要な結果を積み上げていく方針である。特異点を持った代数多様体の導来圏が、極小モデル理論の立場から見て良い性質を持つように定義することは重要な目標である。また、導来圏のフロップに関する不変性の研究を多面的な観点から行う。
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