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2012 年度 実績報告書

高次元代数多様体の標準因子の研究

研究課題

研究課題/領域番号 22244002
研究機関東京大学

研究代表者

川又 雄二郎  東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (90126037)

研究期間 (年度) 2010-04-01 – 2015-03-31
キーワード極小モデル / 導来圏 / 森夢空間 / コックス環 / カラビヤウ / ファノ / クレパント / フロップ
研究概要

今年度も極小モデル理論に関係した研究を継続し新たな結果を得た。極小モデル・プログラムが特によく機能する多様体が森夢空間である。この空間はすべての直線束を一斉に考えたときの切断環(コックス環)が有限生成であるという条件で特徴づけられている。例えば有名なBCHM論文では、ファノ対が森夢空間になることが示されている。大川新之介氏との共同研究では、森夢空間において、あるQ因子が存在してカラビヤウ対になるための必要十分条件は、コックス環が対数的標準特異点と持つことであることを証明した。また、あるQ因子が存在してファノ対になるための必要十分条件は、コックス環が対数的末端特異点と持つことであるというGOST論文の別証明も与えた。
極小モデル理論と導来圏理論の類似性を追求した。ここで問題になるのは、特異点を持つような代数多様体に対しても、滑らかな代数多様体の導来圏にような良い性質を持った導来圏を定義することである。今年度は、特別な末端特異点を持つ3次元代数多様体に対して、ある種の意味でクレパント特異点解消に相当する導来圏を定義した。この研究はまだ継続中である。
さらに今年度は、有限生成定理の証明を主題とする本を書いた。極小モデル理論を初歩から解説し、最新のBCHM定理の証明まで含めることができた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

順調に重要な結果や、重要な結果につながることが期待できる部分的結果が出ている。思わぬ画期的な成果ではないが、このような結果を積み上げていくことが重要である。

今後の研究の推進方策

今後もこのペースを維持し、重要な結果を積み上げていく方針である。特異点を持った代数多様体の導来圏が、極小モデル理論の立場から見て良い性質を持つように定義することは重要な目標である。また、導来圏のフロップに関する不変性の研究を多面的な観点から行う。

  • 研究成果

    (8件)

すべて 2014 2013 2012 その他

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (3件) (うち招待講演 3件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Hodge theory on generalized normal crossing varieties2014

    • 著者名/発表者名
      Y. Kawamata
    • 雑誌名

      Proc. Edinburgh Math. Soc.

      巻: 57-1 ページ: 175-189

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Derived categories of toric varieties II2013

    • 著者名/発表者名
      Y. Kawamata
    • 雑誌名

      Michigan Math. J.

      巻: 62 ページ: 353-363

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the abundance theorem in the case of numerical Kodaira dimension zero2013

    • 著者名/発表者名
      Y. Kawamata
    • 雑誌名

      Amer. J. Math.

      巻: 135 ページ: 115-124

    • 査読あり
  • [学会発表] Minimal models and Fourier-Mukai partners2012

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      Conference on complex geometry in memory of Hans Grauert
    • 発表場所
      Goettingen大学(ドイツ)
    • 年月日
      20120917-20120920
    • 招待講演
  • [学会発表] Derived categories from the viewpoint of the minimal model program2012

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      Algebraic and Complex Geometry
    • 発表場所
      Hannover大学(ドイツ)
    • 年月日
      20120910-20120914
    • 招待講演
  • [学会発表] Birational geometry and derived categories2012

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      Interactions of birational geometry with other fields
    • 発表場所
      Durham大学(イギリス)
    • 年月日
      20120702-20120707
    • 招待講演
  • [図書] Derived Categories in Algebraic Geometry2013

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata (editor)
    • 総ページ数
      354
    • 出版者
      European Mathematical Society
  • [備考] Homepage of Kawamata laboratory

    • URL

      http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawamata_lab/

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公開日: 2015-05-28  

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