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2011 年度 実績報告書

クライン群とタイヒミュラー空間の大域幾何的研究

研究課題

研究課題/領域番号 22244005
研究機関大阪大学

研究代表者

大鹿 健一  大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70183225)

研究分担者 相馬 輝彦  首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (50154688)
和田 昌昭  大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80192821)
遠藤 久顕  東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (20323777)
宮地 秀樹  大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40385480)
キーワードクライン群 / タイヒミュラー空間 / 写像類群
研究概要

本年度は以下のような内容の研究を推進した.
クライン群の変形空間の境界のreductionとその対称性の研究:Teichmuller空間のBers境界の中に含まれる擬等角変形空間をそれぞれ1点につぶして得られる商空間(reduced Bers boundary)を導入した.そこには写像類群のTeichmuller空間への作用が連続に拡張することを示した.さらにこの空間の対称群は, 拡張された写像類群に完全に一致することを証明した.同様の商空間はTeichmuller ray compactificationでも考えられ,そこにも写像類群の作用が拡張し,対称群は拡張された写像類群に一致する.しかしこの2つの商空間は全く位相が異なり,2つの位相の間に強弱の関係もないことが分かった.
Seifertファイバー空間のSmale予想の研究:基本群が無限群であるような,Seifertファイバー空間について,恒等写像とホモトピックな自己微分同相写像全体が作る空間は可縮であることを示した.これは球面についてのSmale予想の自然な拡張になっている.
極値的長さによるタイヒミュラー空間のコンパクト化の分析とその応用:Gadniner-Masurによる,双曲的長さの代わりに,極値的長さを用いたTeichmuller空間のコンパクト化について,その境界の様子を詳しく調べた.その応用として,Ryodenの剛性定理の新しい証明を与えた.
以上の研究について,KIAS, 東工大,KAIST, Aarhus大学,Carry-le-Rouet, 昆明理工大学,RIMS等の研究集会で発表を行った.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初からの目的にあった,クライン群の変形空間の境界の構造の解明については,大鹿が着実な研究成果を積み重ねている.大鹿と宮地はさらにタイヒミュラー空間の様々なコンパクト化についての研究を進めたが,この研究はタイヒミュラー空間論として重要であるのみならず,変形空間の構造解明にも役立っている.写像類群の研究については,写像類群が新たに作用する空間を構成することにより幾何学的な側面からの研究を推進している.さらに相馬の3次元多様体の研究を加えることにより,当初の目的の研究が着実に進歩している.
以上のような研究について,それぞれ論文を執筆し,それらはコンスタントに出版,アクセプトされており,論文にする前の結果についての,国際的な研究集会での発表も多く行っている.
研究集会の企画において,予定されていた外国人が来日できないトラブルがあったが,次年度に来日要請をすることにより,研究遂行上の支障とはならなかった.

今後の研究の推進方策

今後の研究の方向としては以下のような方針を立てている.
クライン群の変形空間については,今後は幾何的極限とその連続的変形の理論を構成することによって,新しいコンパクト化とその位相構造を調べ,そこからの写像を用いて,本当の境界の構造を調べることに取りかかる.
さらに本研究の全体に,幾何的群論,漸近幾何的手法を取り入れた研究手法を取り入れたい.昨今3次元多様体のvirtual Haken予想の解決にArtin群とcube complexの理論が本質的に使われたが,これらの理論はより多くの応用があると考えられるので,これらを我々の研究に大胆に取り入れ,活用する.
新しい手法を取り入れるに当たり,国際研究集会,外国人研究者招聘については,元来計画していたメンバーとは少し入れ替えた人選になると予想される.一方で,この新しい手法については韓国,中国,シンガポールでも大いに研究されているので,これまで推進してきた東アジアの研究者交流は継続,発展させていく.

  • 研究成果

    (21件)

すべて 2013 2011 その他

すべて 雑誌論文 (7件) (うち査読あり 7件) 学会発表 (14件) (うち招待講演 14件)

  • [雑誌論文] A Characterization of Biholomorphic Automorphisms of Teichmuller Space2013

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Mineyama and Hideki Miyachi
    • 雑誌名

      Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.

      巻: 154 ページ: 71-83

    • DOI

      10.1017/S0305004112000400

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The Smale conjecture for Seifert fibered spaces with hyperbolic base orbifold2013

    • 著者名/発表者名
      D. McCullough and T. Soma
    • 雑誌名

      J. Diff. Geom.

      巻: 93 ページ: 327-353

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A note on on the rigidity of unmeasured lamination spaces2013

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 雑誌名

      Proc. AMS

      巻: to appear ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Reduced Bers boundaries of Teichmuller spaces2013

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 雑誌名

      Ann. Inst. Fourier

      巻: to appear ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Primitive stable representations of free Kleinian groups2013

    • 著者名/発表者名
      Woojin Jeon, Inkang Kim, Ken'ichi Ohshika with Cyril Lecuire (Woojin Jeon)
    • 雑誌名

      Israel J. Math.

      巻: to appear ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Geometric limits and length bounds on curves2011

    • 著者名/発表者名
      Teruhiko Soma
    • 雑誌名

      Tokyo J. Math.

      巻: 34 ページ: 203-219

    • DOI

      10.3836/tjm/1313074451

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Monodromy substitutions and rational blowdowns2011

    • 著者名/発表者名
      Hisaaki Endo, Thomas E. Mark, Jeremy Van Horn-Morris (Hisaaki Endo)
    • 雑誌名

      J. of Topology

      巻: 4 ページ: 227--253

    • DOI

      10.1112/jtopol/jtq041

    • 査読あり
  • [学会発表] Reduced Bers boundaries and their symmetries

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 学会等名
      KIAS Workshop on Hyperbolic geometry, bounded cohomology and symmetric spaces and related topics
    • 発表場所
      KIAS 韓国ソウル
    • 招待講演
  • [学会発表] Primitive stability for free Kleinian groups

    • 著者名/発表者名
      大鹿健一
    • 学会等名
      京都大学数理解析研究所 研究集会 離散群と双曲空間の解析と幾何
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所
    • 招待講演
  • [学会発表] Two kinds of reduced boundaries of Teichmuller spaces and their symmetries

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 学会等名
      Group Actions in Geometry, Topology and Analysis
    • 発表場所
      昆明理工大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Actions of isomorphism groups of Heegaard splittings on projective lamination spaces

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 学会等名
      KAIST Geometric Topology Fair
    • 発表場所
      KAIST 韓国 大田
    • 招待講演
  • [学会発表] クライン群の変形空間の位相構造

    • 著者名/発表者名
      大鹿健一
    • 学会等名
      日本数学会(幾何学分科会特別講演)
    • 発表場所
      九州大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Topological structure of deformation spaces for Kleinian groups and beyond

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 学会等名
      KMS autumn meeting
    • 発表場所
      Daejeon Convention Center, 韓国 大田
    • 招待講演
  • [学会発表] Deformation spaces of Kleinian groups and group actions

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 学会等名
      Geometry of Moduli Space of Low Dimensional Manifolds
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所
    • 招待講演
  • [学会発表] Subgroups of mapping class groups generated by Dehn twists around meridians on splitting surfaces

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 学会等名
      Aspects of representation theory in low-dimensional topology and 3-dimensional invariants
    • 発表場所
      Carry-le-Rouet, フランス
    • 招待講演
  • [学会発表] Automorphism groups of Heegaard splittings and bridge decompositions

    • 著者名/発表者名
      Ken'ichi Ohshika
    • 学会等名
      Workshop on Hyperbolic geometry, geometric structures and bounded cohomology
    • 発表場所
      KIAS, 韓国 ソウル
    • 招待講演
  • [学会発表] Diffeomorphism groups of aspherical 3-manifolds

    • 著者名/発表者名
      相馬輝彦
    • 学会等名
      Low-dimensional Geometry and Topology
    • 発表場所
      東京工業大学
    • 招待講演
  • [学会発表] 放物型Cantor集合のコーディングとHausdorff次元

    • 著者名/発表者名
      和田昌昭
    • 学会等名
      クライン群とコンピュータ・グラフィックス
    • 発表場所
      名古屋大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Lefschetzファイバー空間の構成と改変について

    • 著者名/発表者名
      遠藤久顕
    • 学会等名
      第58回トポロジーシンポジウム
    • 発表場所
      筑波大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Extremal length geometry of Teichmuller space

    • 著者名/発表者名
      Hideki Miyachi
    • 学会等名
      Progress in Low-dimensional topology : Teichmuller theo ry and 3-manifold groups
    • 発表場所
      Aarhus大学,デンマーク
    • 招待講演
  • [学会発表] Extremal length geometry on Teichmuller space

    • 著者名/発表者名
      Hideki Miyachi
    • 学会等名
      Geometry of Moduli Space of Low Dimensional Manifolds
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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