| 研究概要 |
石井,渡辺三内の論文では超曲面多様体で特異点を持ちながら,ジェットスキームが全て有理特異点しか持たない例を構成した.これはジェットスキームに対して正標数の議論を使って標数０の結果を示した最初の論文である.
特異点の通常のcanonical discrepancyはXが正規でQ-Gorensteinのときに定義されるが，Mather-Jacobian discrepancyはこの条件なしで定義され,完全なInversion of Adjunctionを満たす.これを示したのが，Ann. de l'Inst.Fourierにpublishした石井の論文である.このdiscrepancyを使い,multiplier idealを定義しそれが,非特異の時と同様の良い性質を持っていることを示したのが,Ein,石井,Mustataの論文である.またA. Regueraとの共同研究でMather-Jacobian minimal log discrepancyが(次元-1)になる特異点は正規交叉２重点かピンチポイントか,compound du Val特異点に限られることを示した.渡辺は一般の2次元特異点の整閉イデアルの興味深い性質をgood idealの存在との関係で顕在化することができた．(奥間智弘,吉田健一との共同研究).F-pure環,F-有理環や有理特異点の重複度の上限を次元と埋め込み次元によって与えることができた．(Craig Huneke 教授との共同研究) 高木はF純性の概念を因子が有効とは限らない場合に拡張し,これを用いMustata-Srinivasの予想から対数的標準対F純対の対応が従うこと証明した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
Mather-Jacobian discrepancyを用いて特異点の定義（MJ-canonical, log MJ-canonical)をし, これらの持つ美しい性質が，わかってきた。(Inversion of adjunction, minimal log MJ-discrepancyのlower semi continuity, 変形における不変性など) また２次元までのMJ-canonical, log MJ-canonicalsingularitiesを全て決定する事もできた。
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| 今後の研究の推進方策 |
標数０の特異点の性質，log terminal singularities, log canonical singularitiesが正標数の特異点F-regular singularities, F-pure singularitiesと対応している事は最近の可換環と代数幾何学の進展の中でも大きな結果であるが，この対応がMJ-canonicalやlog MJ-canonicalにもあるかどうかというのが当面の問題である。正標数の研究者とも連携し, これらを解明したい。
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