| 研究課題/領域番号 |
22340005
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (60027381)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 表現論 / 量子群 / 箙ヘッケ環 / ワイル・シューア双対性 / 不確定特異点ホロノミック系 |
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| 研究概要 |
表現論は対称性を研究する数学の一分野である。古典的には、群、リー環などをもちいて対称性が研究されてきたが、近年それらでは扱えなかった対称性を量子群、ヘッケ環、二重ヘッケ環等の新しい言葉の発達により取り扱えるようになり、その研究の領域が拡大している。これらの表現論における新しい方向をさらに進めて、代数・幾何等を総合的に用いた研究を行った。又、将来、表現論のみならず他分野にも応用の見込まれる、不確定特異点型ホロノミック系に対するリーマン・ヒルベルト対応を帰納層の概念を用いることにより、定式化することに成功した。さらに具体的には次のような成果があがった。
1. 古典的には、対称群の表現と一般線形群の表現はWeyl-Schur双対性として知られている。そのアフィン量子群への一般化は、Chari-Presseleyによってなされている。Seok-Jin Kang, Myungho Kimとともに、それを極限近くまで一般化することに成功した（量子Weyl-Schur双対性）。また、 Hernandez-Leclercによる、アフィン量子群の有限次元表現のテンソル圏をもちいた量子群の圏化を、量子Weyl-Schur双対性を用いて説明することができる。
2. 確定特異点型ホロノミック系と偏屈層の１-１対応は、研究代表者によって、1970年に知られている。それを、不確定特異点型ホロノミック系の場合に拡張することは、長い間の懸案であった。不確定特異点型ホロノミック系に対する、リーマン・ヒルベルト対応を帰納層の概念を用いて定式化することに、研究代表者は、Andrea D'Agnoloとの共同研究で成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
不確定特異点型ホロノミック系のリーマン・ヒルベルト対応を証明したことは、大きな進展である。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き、表現論の研究をおこなう。特に、箙ヘッケ環を中心として、圏化、幾何と表現論の関わりを研究する。またクラスター代数と量子Weyl-Schur双対性の関わりを研究する。不確定特異点型ホロノミック系を幾何学的な対象に埋め込むことは得られたが、その像を確定する事はまだできていない。これを調べる。
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