| 研究課題/領域番号 |
22340006
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
玉川 安騎男 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00243105)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 代数曲線 / 被覆 / 基本群 / ガロア表現 / アーベル多様体 / 正標数 / 国際研究者交流 / 米国：仏国：英国：伊国：台湾 |
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| 研究概要 |
研究実施計画に記載の通り、海外研究協力者のCadoret氏（５月～９月）、Saidi氏（６月～９月）の来訪を実現でき、代数曲線の被覆と基本群に関する数論幾何について、研究の目的を十分に果たすことができた。また、本補助金使用により、台湾Academia SinicaのChia-Fu Yu氏の招へい（１月～２月）や研究代表者のピサ出張（１２月）ならびに広島出張（６月、７月、１０月）をはじめとする何件かの国内出張を実現し、整数論・数論幾何における有意義な情報収集・研究討論を集中的に進めることができた。
具体的な研究実績としては、次のような成果をあげることができた。
1. Cadoret氏との基本群の表現に関する共同研究では、「研究の目的」Ｂに関して、まず、前年度までに証明できていた以下の結果について精密化を行い、論文を修正・（再）投稿した：(1)代数曲線の数論的基本群のl進表現についての普遍下界像存在定理；(2)(1)のリー環論的手法による一般化；(3)一般線形群の有限部分群に関するJordan-Noriの定理の一般化と代数曲線の基本群の法l表現系に関する独立性定理。また、代数曲線の基本群の法l表現系に関する種数増大予想を非常に一般的に証明することに成功し、論文を執筆・投稿した。なお、共著論文２編が出版された。
2. Saidi氏との正標数に関する共同研究では、まず、「研究の目的」ＤおよびＥに関して、前年度までに証明できていた以下の結果について精密化を行い、論文を修正・（再）投稿した：(1)有限体上の代数曲線の関数体の絶対ガロア群の副Σ遠アーベル幾何における基本予想；(2)正標数の代数曲線族のファイバーの基本群の非定値性。また、「研究の目的」Ｃに関し、有限生成体上のアーベル多様体のセルマー群やテイト・シャファレビッチ群についての興味深い数論幾何的結果を得た（論文準備中）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
３名の海外研究協力者との３つの共同研究のうちの２つを順調に進展させることができ、また、懸案だった成果の整理・発表（論文の執筆・投稿・修正・再投稿・出版）も大きく進んだ。
「研究の目的」Ｂ、Ｄ、Ｅに関していくつかの精密化を得たのに加えて、「研究の目的」Ｂに関して、代数曲線の基本群の法l表現系に関する種数増大予想を非常に一般的に証明できたこと、および、「研究の目的」Ｃに関し、有限生成体上のアーベル多様体のセルマー群やテイト・シャファレビッチ群についての興味深い数論幾何的結果を得られたことは、大きな収穫だった。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画はおおむね順調に進展しており、基本的にはこのまま進めていけばよいと考えている。研究の目的に沿って新しい研究結果を得ることはもちろん、成果の整理・発表についても、引き続き力を入れたい。本研究計画は３名の海外研究協力者との３つの共同研究を中核としているが、今後も３つの共同研究のバランスに留意するとともに、３つの共同研究のいずれも、もとより数論的基本群を中心的対象とするものであることに立ち返り、それらの相互作用をいかすという視点に立って、数論的基本群の構造の解明を更に進めいきたい。（例えば、本年度は、有限生成体上のアーベル多様体の数論幾何に関し、Cadoret氏との共同研究とSaidi氏との共同研究が交わることがあった。）
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