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2011 年度 実績報告書

進化するグレブナー基底の理論を戦略とする凸多面体を巡る未解決問題の探究

研究課題

研究課題/領域番号 22340008
研究機関大阪大学

研究代表者

日比 孝之  大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80181113)

キーワードグレブナー基底 / 辺凸多面体 / 巡回凸多面体 / 正規凸多面体 / トーリックイデアル / アルゴリズム
研究概要

凸多面体の組合せ論の伝統的な話題である「凸多面体の面の数え上げ」及び「凸多面体の三角形分割の構造」が本基盤研究の研究対象である。これらの研究の推進には、純粋な組合せ論のテクニックに加え、代数的なテクニックが不可欠である。本研究の目的は、これらの伝統的な話題に関する幾つかの未解決問題に挑戦する戦略の礎となるグレブナー基底の代数的基礎理論を構築することである。
平成23年度は、主に、有限グラフに付随する辺凸多面体の超平面による分離問題と巡回凸多面体の正規性に関する具象的研究を展開した。
前者の研究は、MIT(マサチューセッツ工科大学)の大学院生 Nan Li と Yan Z. Zhang との共同研究として遂行された。有限グラフに付随する辺凸多面体が超平面によって二つの整凸多面体に分離されるとき、分離可能であると呼ばれる。研究代表者らは、辺凸多面体が分離可能であるか否かを判断するアルゴリズムを提唱し、更に、辺凸多面体 P が P_1 と P_2 に分離されるとき、P が正規であるための必要十分条件は P_1 と P_2 の両者が正規であることを証明することに成功した。
後者の研究は、研究代表者らと、ドイツからの留学生 Lukas Katthan との共同研究である。パラメータτ_1, . . . ,τ_n(τ_iは整数)によって定義される巡回整凸多面体が正規であるためのパラメータが満たすべき必要十分条件を探すことを最終目的とし、その第1歩となる幾つかの結果を得た。投稿中の論文は   [T. Hibi, A. Higashitani, L. Katthan and R. Okazaki, Normal cyclic polytopes and non-very ample cyclic polytopes, arXiv:1202.6117]に載せ、公開している。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

凸多面体の構造に関する論文、及び、トーリックイデアルのグレブナー基底に関する論文が順調に執筆されており、おおむね順調に進展していることが客観的に評価される

今後の研究の推進方策

統計数学における実験計画のデータ分析に、中心的対称配置のトーリックイデアルのグレブナー基底の理論を応用することを念頭に置き、中心的対称配置のトーリックイデアルの代数的探究を展開する。加えて、空な格子単体(頂点以外に格子点を含まない格子単体)をどれだけ膨らませれば、正則単模三角形分割が存在するかの議論を展開する。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2011

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (1件) (うち招待講演 1件) 図書 (1件)

  • [雑誌論文] Smooth Fano polytopes arising from finite partially ordered sets2011

    • 著者名/発表者名
      T. Hibi, A. Higashitani
    • 雑誌名

      Discrete and Computational Geometry

      巻: 45 ページ: 449--461

    • DOI

      10.1007/s00454-010-9271-2

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Depth of edge rings arising from finite graphs2011

    • 著者名/発表者名
      T. Hibi, A. Higashitani, A. O'Keefe, K. Kimura
    • 雑誌名

      Proc. Amer. Math. Soc.

      巻: 139 ページ: 3807--3813

    • DOI

      10.1090/S0002-9939-2011-11083-9

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Roots of Ehrhart polynomials of Gorenstein Fano polytopes2011

    • 著者名/発表者名
      T. Hibi, A. Higashitani, H. Ohsugi
    • 雑誌名

      Proc. Amer. Math. Soc.

      巻: 139 ページ: 3727--3734

    • DOI

      10.1090/S0002-9939-2011-11013-X

    • 査読あり
  • [学会発表] 現代の産業社会とグレブナー基底の調和2011

    • 著者名/発表者名
      日比孝之
    • 学会等名
      越境する数学
    • 発表場所
      アキバプラザ(東京都)
    • 年月日
      20110907-20110907
    • 招待講演
  • [図書] グレブナー道場2011

    • 著者名/発表者名
      JST CREST 日比チーム(編集)
    • 総ページ数
      557
    • 出版者
      共立出版

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公開日: 2014-07-24  

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