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凸多面体の組合せ論の伝統的な話題である「凸多面体の面の数え上げ」及び「凸多面体の三角形分割の構造」が本基盤研究の研究対象である。これらの研究の推進には、純粋な組合せ論のテクニックに加え、代数的なテクニックが不可欠である。本基盤研究の目的は、これらの伝統的な話題に関する幾つかの未解決問題に挑戦する戦略の礎となるグレブナー基底の代数的基礎理論を構築することである。
平成２５年度の研究成果を列挙する。第１に、有限グラフの edge ring の正則性の研究を展開し、Cameron--Walker graph の概念を提唱し、その代数的諸性質を探究した。第２に、強 Koszul 代数となる edge ring の分類に成功するとともに、Koszul な二項式辺イデアルの分類問題に着手した。第３に、half-open hypersimplex の f 列に付随する母函数を研究した。第４に、有限グラフの頂点の個数を固定するとき、edge polytope の辺の個数の振る舞いがどのようになるかを研究し、その上界と下界に関する結果を得た。第５に、squarefree な単項式イデアルの冪の socle に関する研究を推進した。第６に、任意の n > 3 について、次元 n の凸多面体のEhrhart 多項式で、n 次の係数、n - 1 次の係数と定数項以外の係数が、すべて負となるものを構成することに成功した。これは、Ehrhart 多項式の係数に関する懸案の問題であった。
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