| 研究実績の概要 |
確率分布空間が有する自然な微分幾何構造の研究に端を発する情報幾何学は，Riemann計量に関して互いに双対な２つのアファイン接続を有する多様体を研究する分野である．本研究の目的は，情報幾何学および量子情報理論の諸分野における断片的研究成果を統合・発展させ，「非可換確率論における情報幾何学的方法」とでも呼ぶべき一般的方法論の体系化をめざすと共に，量子情報科学における新しい問題を発掘し，それらに応用していくことにある．
Chentsovの定理は，確率分布空間のMarkov埋め込みに関する幾何構造の不変性を満たす古典確率空間上の計量・アファイン接続がそれぞれ Fisher計量・α接続に限られることを主張するものであり，Markov不変性を満たす(0,s)型テンソル場を特徴づけることで証明される．本研究ではこれを一般の(r,s)型テンソルに拡張し，Fisher計量による添え字の上げ下げに関して不変なテンソル場全体が閉じていることを証明した．本結果は古典確率分布空間におけるMarkov不変なテンソル場すべてを特徴づけるものであり，Chentsovの定理を量子確率空間へ拡張する際にも重要な視点を提供するものと期待される．
引き続き本研究では，近年進展が著しい量子仮説検定理論で重要な役割を果たすサンドイッチ型量子Renyi相対エントロピーが誘導する量子状態空間の情報幾何構造を研究し，単調計量および接続構造を特徴付けることに成功した．しかし量子状態空間の大域構造との関連は未解決であり，今後も研究を継続する必要がある．
なお，本年度は最終年度となるため，研究とりまとめを目的とした研究集会「数理と工学の接続と調和」を開催すると共に，「情報幾何学の基礎」と題する専門書を出版し，当該研究の成果を広く社会・国民に発信した．
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