| 研究概要 |
微分幾何における新しい分野であり,制御理論,外微分式系の研究と密接に関連する「sub-Riemann幾何」から,計算機科学の分野から生まれ,代数幾何,とくにトーリック幾何・トポロジー,可積分系,力学系,数理物理と関連して研究されている新しい分野である「トロピカル幾何」に及ぶ具体的なテーマに対し,実代数幾何の方法をあまねく適用し,実質的な成果を挙げることを目標とする研究課題である.今年度は,外微分式系として,特に接触構造およびEngel構造について取り上げ,それらの積分曲線の特異性について考察した.付随する特異曲面に関して,実代数幾何的な見地から,新しい特異点の分類を実行し,ジェネリックな特異点の標準形を完成することができた.(研究発表参照.さらに,次の論文を今年度に執筆した:G.Ishikawa,Y.Machida,M.Takahashi,The asymmetry on singularities of tangent surfaces in contact-cone Legendre-null duality.この論文は,専門的国際誌に現在投稿中である.)また一方では,トロピカル幾何学に関する最近の動向と,超体(hyperfield)のアイディアについて,国際研究集会の講演(G.Ishikawa,Basic Topics on Tropical Geometry and Singularities,)を行い,関連する研究打ち合わせ・情報交換を国内外の研究者とともに行った.その後,Legendre双対性と制御理論・外微分式系の理論の見地から,曲線や曲面の"tangent variety"の特異性を一般的に考察し,現時点において,「関数のK-類の分布」という射影不変量を新しく認識し,sub-frontの概念や曲面のopening構成の概念を獲得するに至っている.今後,このような理論的枠組みを整備していきながら,制御問題に現れる測地線の1パラメータ族の作る曲面特異性について,今年度に得た知見を活用してその標準形を求め,実代数幾何的特性を究明していく.
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