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2012 年度 実績報告書

作用素環の対称性の包括的研究

研究課題

研究課題/領域番号 22340032
研究機関京都大学

研究代表者

泉 正己  京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80232362)

研究期間 (年度) 2010-04-01 – 2015-03-31
キーワード作用素環 / K理論 / 群作用
研究概要

1990年代以降,核型 C* 環の K 理論による分類理論は大きく発展を遂げた.その中でも,最も成功したのが Kirchberg 環と呼ばれるクラスの C* 環の分類理論である.これまでの研究成果に基づいて,千葉大学の松井宏樹氏と共同で Kirchberg 環への群作用の分類に関する次の予想の解決に取り組んだ:“分類空間が有限次元であるような可算従順群の Kirchberg 環への外部的作用はK理論的な不変量により分類可能である”.この予想の仮定を満たす群の中で比較的簡単な構造を持つものに poly-Z 群がある.poly-Z 群のクラスは,ねじれのない有限生成冪零群や,単連結可解 Lie 群の余コンパクト格子を含む重要なクラスである.poly-Z 群は次元に相当するHirsch length という不変量を持つが,Hirsch length が3以下の場合に,poly-Z 群の Kirchberg 環への外部的作用の分類を行った.分類不変量は,KK 群を係数可群とする群コホモロジーである.
有限群の表現の圏の一般化である fusion category は,近年数学や数理物理学の多くの分野に現れている.fusion category は部分因子環の理論と密接に関係しており,特に near group category と呼ばれる fusion category とその変種の分類は,部分因子環において重要である.Cuntz 環を用いる方法で新たな near group category の構成に成功した.また,ある種の near group category はその構造に強い制約があることを示した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

作用素環の対称性の研究の中で特に重要なものに(1)群の作用の研究,(2)部分因子環の研究,(3)E0 半群の研究,がある.これらは当初研究目的の主なものであった.(1)については poly-Z 群の Kirchberg 環への作用の分類が Hirsch length 3 まで得られており,十分な進展をがあった.(2)についても,指数5以下の部分因子環の分類や Cuntz 環を使ったあらたな部分因子環の構成に成功しており,十分な進展があった.(3)については技術的に難しい段階を迎えており,今後方向転換を必要とする可能性がある.

今後の研究の推進方策

Kirchberg 環への poly-Z 群の作用の研究では,これまで十分な研究の進展があったので,今後さらに研究を進展させて発表する予定である.そのためには,位相幾何学の障害理論を使うことが有効であると予想されており,それを実際に実行する.これまでの研究で,poly-Z群の作用の研究の方法論を確立したといえるので,今後 Kirchberg 環以外の環への poly-Z 群の作用の研究を行う.
これまでの研究成果により, near group category やその変種の研究に Cuntz 環を使う方法が有効であることが明らかになった.今後この方法をさらに発展させて研究成果を発表する計画である.特に near group category を使った Asaeda-Haagerup category の研究は挑戦のしがいがありかつ,実現する可能性のある課題であり,海外共同研究者とともに必要であればコンピューターを駆使してこれに取り組む.
E0半群の研究は,これまで CCR や CAR の方法にこだわらずに,Powers の CP-flow の方法などを使って行う.

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2012

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (5件) (うち招待講演 5件)

  • [雑誌論文] Subfactors of index less than 5, Part 3: Quadruple points2012

    • 著者名/発表者名
      Izumi, Masaki
    • 雑誌名

      Communications in Mathematical Physics

      巻: 316 ページ: 531-554

    • DOI

      10.1007/s00220-012-1472-5

    • 査読あり
  • [雑誌論文] E0-semigroups: around and beyond Arveson's work2012

    • 著者名/発表者名
      Izumi, Masaki
    • 雑誌名

      Journal of Operator theory

      巻: 68 ページ: 335-363

  • [学会発表] Poly-Z group actions on Kirchberg algebras2012

    • 著者名/発表者名
      Izumi, Masaki
    • 学会等名
      C*-algebras, Dynamics, and Classification
    • 発表場所
      The Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Germany
    • 年月日
      20121028-20121103
    • 招待講演
  • [学会発表] Noncommutative Poisson boundary2012

    • 著者名/発表者名
      Izumi, Masaki
    • 学会等名
      Levi-Civita Colloquia
    • 発表場所
      Center for Mathematics and Theoretical Physics, Rome, Italy
    • 年月日
      20120912-20120912
    • 招待講演
  • [学会発表] The classification of certain fusion categories and subfactors, I, II2012

    • 著者名/発表者名
      Izumi, Masaki
    • 学会等名
      Quantum Probabilistic Symmetries
    • 発表場所
      Aberystwyth University, UK
    • 年月日
      20120904-20120905
    • 招待講演
  • [学会発表] Group actions on operator algebras2012

    • 著者名/発表者名
      Izumi, Masaki
    • 学会等名
      London Mathematical Society Midlands Regional Meeting
    • 発表場所
      Aberystwyth University, UK
    • 年月日
      20120903-20120903
    • 招待講演
  • [学会発表] Group-subgroup subfactors revisited2012

    • 著者名/発表者名
      Izumi, Masaki
    • 学会等名
      SunderFest
    • 発表場所
      The Institute of Mathematical Sciences, Chennai, India
    • 年月日
      20120404-20120406
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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