| 研究概要 |
ある種のRamanujan q-seriesのクラスについて,各級数の間に成り立つ代数関係式および代数的独立性を明らかにした.そのクラスのうちの3つの級数に対しては,qの関数としてもまた代数的数においてとる値についても,一つの例外を除いて,代数的に独立になることが示された.例外的な場合については従来よりある代数的関係式が成立することが知られていたが,この結果によりその関係式は特別なものであることがわかった.その議論においては,代数的数におけるq-seriesの値の超越性に関するNesterenkoの定理と,我々の前の研究で提案した関数値の代数的独立性に関する判定法が重要な役割を果たしている.なお同様な方法は他のより多くの種類を含むq-seriesのクラスについても適用可能であり,それらの代数的独立性を証明したり,いろいろな興味ある代数的関係式を求めたりすることもできる.
Eisenstein級数のモジュラー性に関連した量がある二重級数で表現されることを示した.そしてその表現を用いて,対応するRamanujann q-seriesについて,その自然境界である単位円の近くでどのように振舞うかを調べた.
破壊力学における亀裂先端の伝播決定問題を考察した.3次元弾性体における亀裂の形状は3種類に分類される.そのうちの反平面(mod 3)モデル方程式に対して,kinked crackにおける境界条件として非貫通条件を課した問題の弱解を変分法で構成した.
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