| 研究概要 |
２つの巡回ｐ群の直積Ａ×Ｂからｎ次対称群による位数ｐの巡回群の環積Ｓへの準同型の個数ｈ(Ａ×Ｂ,ｎ)に関するｐ進的性質をほぼ完全に得た。具体的にはｐが割り切る指数の下限ｋ=ｋ(Ａ，Ｂ)を確定した。ｐ＞３またはｐ＝３かつ｜Ａ｜＞｜Ｂ｜の場合には統一的に結果が得られるが、その他の場合には、（１）ｐ＝３かつ｜Ａ｜＝｜Ｂ｜、（２）ｐ＝２かつ｜Ａ｜＞４｜Ｂ｜＞４または｜Ａ｜＞２｜Ｂ｜＝２、（３）ｐ＝２かつ｜Ａ｜＝４｜Ｂ｜＞２または｜Ａ｜＝２｜Ｂ｜＝２、（４）ｐ＝３かつ｜Ａ｜＝｜Ｂ｜＞１、（５）ｐ＝２かつ｜Ａ｜＝２｜Ｂ｜＞２、（６）ｐ＝２かつ｜Ａ｜＝｜Ｂ｜＞１の６通りについてそれぞれ結果が得られた。特に（４）～（６）については特別な手法を必要とした。（５）と（６）を除く場合には、さらにｐ進解析関数の値として、準同型の個数を表すことに成功した。また、得られた結果は巡回群からＳへの準同型の個数に関する知られていたｐ進的性質を自然な形で拡張したものとなっている。対称群の次数ｎが｜Ａ｜の倍数である場合には、ｐが割り切る指数はｋとなることもわかる。さらに、このことから、ｈ(Ａ×Ｂ,ｎ)の指数型母関数のｐ進べき級数としての収束半径も確定する。また、得られた結果はＡ×Ｂからｎ次対称群への準同型の個数に関するｐ進的性質との類似が有り、その様子は巡回群からの準同型の個数に関するｐ進的性質における類似性を拡張していることがわかる。以上の結果は、３個以上の巡回ｐ群の直積からＳへの準同型の個数に関するｐ進的性質を得ることにも発展する可能性があるものとなっている。
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