| 研究概要 |
本年度は研究実施計画にあったものが3つ、なかったものが3つ研究された。
まず概均質同値に関しては新しい発見があった。n≧m_1≧m_2の場合,(G×GL(n),ρ_1【○!×】Λ_1+ρ_2【○!×】Λ_1',V(m_1)【○!×】V(n)+V(m_2)【○!×】V(n)')と(G.ρ_1【○!×】ρ_2,M(m_1,m_2))が概均質同値であるという佐藤幹夫氏の定理があるが,m_1>n>m_2の場合は,森重文氏がベクトル空間ではないある多様体が概均質であることと同値だということを示していたが、今回はそれを発展させて、(G.ρ_1【○!×】ρ_2,M(m_1,m_2))が概均質ベクトル空間でその生成点をZ,その縦ベクトルで生成されるV(m_1)の部分空間を<Z>,Zにおける等方部分群Hに対して(H×GL(m_1-n),ρ_1'【○!×】Λ_1,<Z>⊥【○!×】V(m_1-n))が概均質ベクトル空間であることと同値であることを証明した。これは木村-上田-吉垣の定理の一般化にもなっている。
次に2既約概均質ベクトル空間の分類は院生の黒澤恵光氏と研究し、かなりの進展はあったものの残念ながら完成には至らなかった。本質的な難しさがあるようにみえる。
Rubenthalerは半単純リー環のZ-graduationから得られる有限軌道を持つ概均質ベクトル空間を研究したが、院生の佐々木詠叔氏とその一般化についてある結果を得た。
以上が研究実施計画にあったものであるが、計画になかった新しい成果も得られた。
まず院生の牧徳達氏と概均質ベクトル空間の暗号理論への応用を考えた。群の元を与えると軌道の元はすぐわかるが、逆はわかりにくいという原理を使って共有鍵の理論を作った。また院生の濱田倫郎氏と完全擬可約概均質ベクトル空間を今まで知られていた概均質ベクトル空間の中から決定した。また裏返し変換から擬既約概均質ベクトル空間を無限に構成出来ることも示した。また院生の大津利之氏と(G×GL(n),ρ【○!×】Λ_1+σ【○!×】Λ_1')(n=2,3)の分離型の場合の分類を完成させた。
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