| 研究概要 |
n次ユニタリ群とHeisenberg群の半直積群であるユニタリ・ヤコビ群上の保型形式(ユニタリ・ヤコビ形式)を用いて,ユニタリ群上の正則保型形式の精密な部分フーリエ展開を求めること,保型L関数の新たな構成を与えることを目的としている.
原始的テータ関数とは,部分フーリエ展開係数が属するユニタリ・ヤコビ形式の空間の「良い」基底のことである.その構成のため,ユニタリ・ヤゴビ群の局所Hecke環の適切な部分環を探る研究を行なった.第一段階として,ある種の平準化元(冪等元)を導入した.この作用素で不変なユニタリ・ヤコビ形式は,(本質的には)より小さな指数のユニタリ・ヤコビ形式から持ち上がったものになっている.一方,零化される部分を切り分ける作用素については未だ未確定であり,n=1のときの原始的テータ関数の理論を参考にしつつ,次年度も引き続き取り組んでいく.
ユニタリ群上の保型形式Fに付随するL関数の新たな一つの構成が,ユニタリ・ヤコビ形式fとの組で決まるWhittaker-Shintani関数のトーラス上の積分の形で与えられる.この積分は有限個の素点を除き,FとfのL関数の比として表示されるが,今年度は既に得ている結果を整理しつつ,除外素点を減らす試みを行なった,残念ながら,指数を割る素点での処理については,前段の切り分けの問題とも関連して,満足できる水準には達していない.この問題も引き続き取り組んでゆく.更に,Rankin-Selberg型の積分表示を求めることも,L関数の解析的考察のためには不可欠である.
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