| 研究概要 |
n 次ユニタリ群と Heisenberg 群の半直積群であるユニタリ・ヤコビ群上の保型形式（ユニタリ・ヤコビ形式）を用いて，ユニタリ群上の正則保型形式の精密な部分フーリエ展開を求めること，保型Ｌ関数の新たな構成を与えることを目的としている．
前年度まで考察した平準化元（冪等元）のみの利用では，ユニタリ・ヤコビ形式の切り分けには不十分であると判明した．そのため原点に立ち戻り，ユニタリ・ヤコビ Hecke 環の構造決定に取り組むことにした（これは，当初その困難さゆえに回避していた方向である）．通常のヤコビ Hecke 環についてもこの問題は易しくない．index がユニモジュラーな場合の新谷卓郎氏の結果（古典群の場合と同様な佐武同型の成立）以外は，知られていない．
通常のヤコビ形式（Heisenberg 群とシンプレクティック群の半直積上の保型形式）で，index が m 次の極大整格子に対応する場合を考察した．このときでも，Hecke 環は非可換となり得るが，その非可換性は，殆ど Heisenberg 群の部分から生じることを見るとともに，最も易しい SL(2) ヤコビの場合には，その完全な構造を決定することができた．この場合，ヤコビ群は符号 (2, m+2) の直交群に埋め込まれ，ヤコビ形式からの直交群上の正則保型形式へのリフト（織田リフト）が良く知られている．関連するテーマとして，青木宏樹氏の方法を用いて，レベル 2, 3 の 2 次パラモジュラー保型形式（これは符号 (2,3) のある直交群上の保型形式に一致）の環構造を決定した．結果は既知であるが，保型形式の構成に Klingen Eisenstein 級数を用いることにより，自然な生成系を与えることができた．
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