| 研究課題/領域番号 |
22540015
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| 研究機関 | 名城大学 |
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研究代表者 |
前野 俊昭 名城大学, 理工学部, 准教授 (60291423)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 代数的組合せ論 / 量子代数 / 鏡映群 / Hopf代数 |
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| 研究概要 |
これまでの研究で、幾つかの組合せ的な構造に付随して定義されるような体上の有限次元ゴレンシュタイン代数に関するレフシェッツ性を扱い、多項式のヘッシアンの特殊値を用いたアプローチが極めて有効であることが確認できた。この手法によりある種のマトロイドに付随したゴレンシュタイン代数のレフシェッツ性を証明し、幾何的モジュラー束のスパーナー性について新しい照明を得ることができた。これらの結果から、ブロックデザインや有限幾何に対しても同様の構成が可能であることが明らかになりつつある。レフシェッツ性に関しては、これまでに得られた諸結果や重要な手法をまとめた著書を共同研究者と共に出版予定である。
もう一つのテーマとして、アフィン・ワイル群から定まるニコルス・ヴォロノヴィッツ代数を用いたアフィン・ニルヘッケ代数を構成や、アフィン・グラスマン多様体のポントリャーギン環の実現を通じてのアフィン・シューベルト・カルキュラスの研究がある。ここで用いられたニコルス・ヴォロノヴィッツ代数の構造や表現に関しても、幾つかの新しい知見が得られつつある。
また、様々な組合せ論的手法、特に離散空間上の関数密度問題の応用に関して情報セキュリティー分野の研究者も含めた研究集会を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の主な目的は、様々な有限次元代数に現れる組合せ構造の解析である。特に中心的なトピックとしてシューベルト・カルキュラスとレフシェッツ性に関する研究に重点を置いているが、まずシューベルト・カルキュラスに関しては、当初から目指していたアフィン・グラスマン多様体のポントリャーギン環をアフィン・ワイル群上の非可換微分構造を用いて記述することに成功した。またレフシェッツ性に関する研究では、マトロイドに付随したゴレンシュタイン代数のレフシェッツ性を証明する過程で、その定義イデアルのグレブナー扇とある種のトロピカル超曲面との関係や、有限幾何に関連する新しい知見も得られている。本研究課題の計画時点での主要な問題の幾つかは解決され、その成果から得られた新しい問題意識の下での展開も期待できる状況である。こうした状況から、本研究課題は研究計画の通り順調に進展しているものと判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
量子シューベルト・カルキュラスと可積分系との関係については、ニコルス・ウォロノヴィッツ代数を通じた研究によっても特にヤン・バクスター方程式の役割などが明らかになりつつあるが、カロジェロ系との関係などでは未だ明確になっていない点が多く、今後重点的に研究されるべき課題と考える。またレフシェッツ性の研究においてはヘッシアンを用いた手法を用いてきたが、ヘッシアンが恒等的に消えるような多項式の特徴付けはこの意味でも興味深い。こうした多項式に関してアフィン代数幾何やシューベルト・カルキュラスの観点から研究することは面白い問題であると思われる。
また、これまでの研究で得られた成果から、新たに検討するべき課題・知見が得られており、そうしたテーマを発展させていくことも重要である。そうしたテーマの一つとしては、レフシェッツ性の理論のブロックデザインや有限幾何への応用が挙げられる。
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