| 研究概要 |
連携研究者の高野啓児(明石高専)と共同でp進体上の対称空間の表現,つまり対称部分群に関するdistinguished表現の研究を継続して行った.そもそも,任意の対称空間の既約表現は相対cuspidal表現からの放物誘導に埋め込めることを主張する部分表現定理が本研究の出発点であった.一方Blanc-Delormeにより,このようなタイプの放物誘導表現はgenericにはdistingushedになることがわかっている.そこでこの誘導表現を調べたところ,このような表現は相対cuspidalにはなり得ないということを示すことができた.これは本研究の第一の目標である,相対cuspidalを用いた対称空間の表現の分類への第一歩であると見なすことが出来る.これと並行して,相対tempered表現の研究を行った.実Lie群上の表現の場合に倣って,2より大きい任意の実数pについて一般化された行列成分がp乗可積分となるようなdistinguished表現を相対tempered表現と呼ぶことにする.このとき与えられた対称空間上の表現が相対temperedであるための必要十分条件がCasselmanによって与えられた群上の表現のtempered性の判定条件と同様の形で,exponentsを用いて記述されることを示すことができた.この結果と最近のDelorme-Harinckの研究を合わせると,本研究の第二の目標が大きく前進したことがわかる.
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| 今後の研究の推進方策 |
相対cuspidal表現を用いた分類に向けて,放物誘導表現に含まれるdistinguishedな既約表現の解析を行う.特にDelormeらのグループの研究を分析して,相対cuspidal表現や相対二乗可積分表現,相対tempered表現の間の関係を研究する.またp進対称空間の球関数の研究を並行して行う.これは以前から行っていたものであるが,特にunramified quadratic base changeに対応する対称空間について考えることで,Kazhdan-Lusztig多項式などの幾何的理論との関係を考察する予定である.以上の研究は連携研究者やその他必要に応じて共同研究者を加えて行うものである.
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