| 研究概要 |
「類数1の実二次体は無限に多くあるだろう」と主張するガウス予想(1801)を解くために, 河本・冨田(2008)は「極小型実二次体」という概念を導入した. その概念は, 実二次体全体をある実二次無理数の連分数展開の周期で分類し, 各周期ごとにその基本単数と類数を調べるという観点に基づいている.
数値データベース拡充のために前年度の補助金を使ってワークステーション(HP Z620)を購入し名城大学に設置したが, 8億の範囲まで数値データが集まり, 7億の数値データが解析済みである. これにより連分数による類数1の実二次体の無限族の抽出方法を提唱することができる. 詳しくは各周期における最小元が類数1の極小型実二次体を与える. すなわち, ある種の極小型実二次体の無限族が類数1の体の無限族となることを予想する.
目標とする極小型実二次体を偶数周期の場合に構成するために, 共同研究者 岸康弘(愛知教育大学)の協力を得て, 偶数周期の極小型自然数の構成法を Proc. Japan Acad.(2014)に発表した. これにより「末尾急増型(ELE型)主要対称部分」および「pre-ELE型有限列」という新しい概念を導入し, ELE型主要対称部分はpre-ELE型有限列から構成されることが解明される. さらに目標とする体はELE型かつ極小型実二次体となることがわかる. 河本・岸・冨田の共著論文として現在投稿中である.
今年度は, さらに共同研究者 鈴木浩志(名古屋大学)の協力を得て, 「増殖変換」という新しい概念を導入し, pre-ELE型有限列の構成方法を確立することができた. 河本・岸・鈴木・冨田の共著論文として現在投稿中である. したがって増殖変換の性質が解明されて各偶数周期における最小元の構成の仕方がわかると, 類数1の実二次体の構成方法に迫れることになる.
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