特異点として尖点のみを持つ平面曲線の研究

2013 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 22540040
• 研究機関: 埼玉大学
• 研究代表者: 戸野 恵太 埼玉大学, 理工学研究科, 非常勤講師 (30422215)
• 研究期間 (年度): 2010-04-01 – 2015-03-31
• キーワード: 平面曲線 / 特異点

研究概要

本年度の研究では複素射影平面上の代数曲線で特異点として局所的に既約なもの(尖点と呼ぶ)のみを持つ有理曲線を考察した。このような曲線を有理尖点平面曲線と呼ぶ。特異点を４個以上持つ有理尖点平面曲線の具体例は特異点を４個持つ１つの５次曲線しか知られていない。本年度の研究では特異点を４個持つ有理尖点平面曲線に注目した。以下Cを特異点を４個持つ有理尖点平面曲線とする。このときCの補集合の対数的小平次元は2であることがわかっている。まずCの特異点の極小埋め込み解消を行う。これはCの逆像が正規交差因子になる最短のブローアップの列の合成である。この特異点解消によるCの固有変換をC'と書くことにする。本研究ではC'の自己交点数の上限を考察した。これまでの研究成果によりC'の自己交点数は－５以下であることがわかっている。前述の５次曲線の場合はこの値は－７である。本年度の研究ではC'の自己交点数が－５の曲線が存在するのかどうかを調べた。このような曲線Cが存在すると仮定するとCの補集合上に一般のファイバーが射影直線から８点または９点を除いたものであるファイブレーションがあることを証明した。次にこのファイブレーションの存在を仮定するとその構造から、いくつかの既約２次曲線と直線の特別な配置を射影平面上に構成できることを示した。この平面曲線の配置が存在しないことを示すことにより、特異点を４個持つ有理尖点平面曲線CでC'の自己交点数が－５のものが存在しないことを証明した。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本研究の目的の中で補集合の対数的小平次元が2の有理尖点平面曲線に関する研究成果は得られたが、種数が１以上の尖点平面曲線に関する研究成果が得られなかったため。

今後の研究の推進方策

交付申請書に記載した研究の目的を達成するために研究計画に従って研究を遂行する。

研究成果

• [学会発表] 有理尖点平面曲線について
  • 著者名/発表者名: 戸野 恵太
  • 学会等名: 第4回 代数曲面ワークショップ at 南大沢
  • 発表場所: 首都大学東京（東京都八王子市）
• [図書] AFFINE ALGEBRAIC GEOMETRY (2013)
  • 著者名/発表者名: K. Masuda, H. Kojima, T. Kishimoto, I. Arzhantsev, M. Zaidenberg, M. Furushima, A. Ishida, R. V. Gurjar, M. Koras, M. Miyanishi, P. Russell, E. Kobayashi, S. Kuroda, T. Ohta, V. L. Popov, F. Sakai, Y. Takeda, R. Tanimoto, H. Yoshihara, 戸野 恵太、他
  • 総ページ数: 330(285-299)
  • 出版者: World Scientific Publishing
• [備考] 研究成果
  • URL: http://www.saitama-u.ac.jp/ktono/research/