| 研究課題/領域番号 |
22540041
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
細野 忍 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60212198)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | カラビ・ヤウ多体 / ミラー対称性 / トーリック多様体 / 周期積分 / グロモフ・ウィッテン不変量 / 超幾何微分方程式 |
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| 研究概要 |
昨年度までの研究で，Reye congruenceと呼ばれる古典的な射影幾何学の枠組みで構成されるカラビ・ヤウ多様体の幾何学が，ミラー対称性の視点から興味深い性質を持つことが明らかになり，特に，このカラビ・ヤウ多様体が「双有理同値ではないが導来同値である」別のカラビ・ヤウ多様体と一体になって現れると言う予想が得られていた．
この成果は，高木寛通氏(東京大学・数理科学研究科)との共同研究によって得られたものであるが，今年度同氏との共同研究をさらに継続し，上述の導来同値性に関する予想について数学的な証明を与えることが出来，結果を論文として公表した．
また，Reye congruence に関わるカラビ・ヤウ多様体のミラー多様体について，(1)オービフォールドミラー構成によって多様体の族を得ること，(2)ミラー多様体の族に関する周期積分のモノドロミー性質を完全に決定すること,を当初の計画目標とした．これらに関しても，計画通りの研究成果を得ることが出来，結果を論文として発表した．(1)の成果によってミラー多様体の族が，古典的な射影幾何学の枠組みで非常に具体的に書けるようになり，特にミラー対称性で大切なモノドロミー性質の極大退化点の様子が明示的に書けるようになった．さらに，(2)の成果によってミラー多様体の族の大局的な幾何学が見えるようになった．この２つの成果を，「双有理同値ではないが導来同値である」別のカラビ・ヤウ多様体が存在すると言う現象と合わせて考察することから，ミラー多様体の幾何学に関する貴重な知見が得られるものと期待している．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画に沿ってカラビ・ヤウ多様体の幾何学について，ミラー多様体の族に関する周期積分の微分方程式を手がかりに研究を進めた．その結果，Reye congruenceに関して構成されるカラビ・ヤウ多様体に着目するに至り，その後，このカラビ・ヤウ多様体が導来同値である別のカラビ・ヤウ多様体と対を成して現れるだろうという予想を立ててその状況証拠を積み重ねてきた．この予想に関して，対を成す別のカラビ・ヤウ多様体の存在とその導来同値性に関して，共同研究によってその数学的証明を与える所まで至っている．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度得られた導来同値性の数学的証明に関する研究成果は，ファノ多様体の専門家である高木寛通氏との共同研究による所が大きい．抽象的な数学を用いる所が多いが，同氏との共同研究を継続しつつ，より具体的な記述法を考察し，周期積分とグロモフ･ウィッテン不変量と手がかりに，ミラー多様体の幾何学と結び付けていく．
また，これまでの成果はある程度まとまった成果となっているので，海外の研究集会に出席し情報発信を行うと共に，海外の他の研究グループの視点を取り入れていく．
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