| 研究課題/領域番号 |
22540041
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
細野 忍 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60212198)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | カラビ・ヤウ多様体 / ミラー多様体 / トーリック多様体 / 超幾何微分方程式 / グロモフ・ウィッテン不変量 |
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| 研究概要 |
これまでの研究で，トーリック多様体の中で完全交叉として書かれかつ有限群の自由作用を許すようなカラビ・ヤウ多様体のミラー多様体に着目し，そのミラー多様体の族の幾何学とグロモフ・ウィッテン不変量に関して新しい事象を見いだす成果を得ている．
特に，具体的なReye合同と呼ばれる形で実現される3次元カラビ・ヤウ多様体について，そのミラー多様体をオービフォールド構成法によって与えミラー多様体の族のモノドロミー性質を決定した．一方，ミラー族のモノドロミー性質から，このミラー族がReye合同だけでなく，もう一つ別のカラビ・ヤウ多様体のミラー族にもなっていることが判明し，高木寛通氏との共同研究を通して，これらの2つのカラビ・ヤウ多様体が導来同値であることの証明を与えている．
当該年度の研究では，上述の導来同値なカラビ・ヤウ多様体の対について射影幾何学など古典的な概念との関連を明らかにし，より系統的な理論整備を目指した．結果，次の成果が得られた：(1) Reye合同と対をなすカラビ・ヤウ多様体の構成とそれらの導来同値性の証明において，抽象的な双有理幾何学の議論が必要とされたが，多くの部分をグラスマン多様体の具体的な幾何学の記述に置き換えられることが判明した．近年，導来同値なカラビ・ヤウ多様体の対を古典的な射影双対の幾何学との関係に着目し一般的に理解する枠組みが提唱されており，その枠組みに沿った理解を得るための第一歩と考えている．(2) 導来同値なカラビ・ヤウ多様体の対は，今のところsporadicに現れているが，そのようなカラビ・ヤウ多様体を含む広い枠組みとして，理論物理学におけるgauged linear sigma model と呼ばれる解析方法がある．この枠組みで，類似するカラビ・ヤウ多様体の研究が出来ることが提唱されており，この視点から解析を行うため準備を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ミラー多様体の族に関する周期積分のモノドロミー性質や，周期積分を用いて記述される変形空間の幾何学とそこから得られるグロモフ・ウィッテン不変量，これらの性質や量に着目してミラー対称性の幾何学を深めていくことが研究の目的である．Reye合同という特別なカラビ・ヤウ多様体の幾何学に着目し，それが対のカラビ・ヤウ多様体を伴って現れることを見いだして以降，これら2つのカラビ・ヤウ多様体の幾何学に集中して研究を実施している．これら2つのカラビ・ヤウ多様体の幾何学は，当初には思いがけなかった深い内容を持つことが判明していて，それらをしっかりと調べ尽くすことによってミラー対称性の幾何学を深めることに十分寄与できるものと考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度は，研究計画最終年度でありこれまでの研究成果を国外の研究集会等で発表すると共に，サーベイ論文に全体像をまとめ上げて，これを発表したいと考ている．また，一方でこれまでの共同研究を継続し，射影双対の幾何学と導来同値性の一般的枠組みについて理解を深めていく．さらに，昨年度準備を行ったgauged linear sigma model の系統的な解析を実施し，これまでのReye合同の幾何学に焦点を当てた研究を，類似の幾何学を視野に入れたものにしていく．
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