| 研究概要 |
A1型(入力の関係で「Aの右肩に(1)」をA1などと表す)の量子アフィンLie代数のFock表現のウェイト空間のShapovalov形式に関するGram行列の単因子および行列式について, 安東・山田両氏との共著論文として投稿した結果のA2型への拡張に取り組んだ. 具体的には, 多重分割に対して2種類のウェイトを定義し, それぞれの多重分割全てに渡る積が等しいことを示した. 各ウェイトの集合はA2型に対応するグラム行列の単因子型を与え, それらの積は行列式を与えると期待している.
パラメータを退化(q=1)させた場合に, これらの量と対称群の射影表現のCartan行列との関係を明らかし, さらにそれを足がかりにQ-Schur関数によりこの群のモジュラー表現を記述する研究を引き続き山田氏等と共同で進めているところである. また, 安東-鈴木-山田の論文で扱われたA1の場合には, 求めた量は一般にKhovanov-Lauda-Rouquier代数の次数付きCartan行列に関係することがわかっている. 圏化の問題とも関連して近年注目を集めている代数系であり, A2型の類似についても考察を進めているところである.
別の問題として, 巡回的skew図でパラメトライズされるCherednik代数の既約表現について, 退化アフィンHecke代数の表現としての分解則(制限則)を求めるため, いくつか具体的なケースについて計算を行った. 結果, 特別な場合には増加条件付きの巡回的平面分割によってこれが記述されることが分かった. 例えばhookに対応する部分表現の数え上げは行・列共に狭義増加であるような平面分割によって与えられる, というのが新たな観察である. この事実の拡張・応用を引き続き研究中である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
A型のKhovanov-Lauda-Rouquier代数の単因子および行列式についての安東・山田両氏との共同研究の拡張に関しては上述の通りおおむね順調に進展している. Cherenik代数の表現の制限則に関しても, まだ一般的な結果には至っていないものの, 具体的な検証を通して新たな展望が開けた. ただし, Cherednik代数のテンソル積定理に関する大阪市立大学の宮地氏等との共同研究については証明の方針を見出すことができていないため, この部分は課題が残った.
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| 今後の研究の推進方策 |
巡回的組合せ論によって記述されるCherednik代数の標準版表現については, これまでの研究方針を引き続き維持し, アフィンHecke代数や対称群に関して得られている古典的な理論がどこまでどのように拡張できるかを明らかにする.
Cherednik代数のテンソル積定理に関する大阪市立大学の宮地氏等との共同研究については, A型以外の強い意味での定理に関しては証明の方針を見出すことができていないため, まずはA型の結果の応用を考えたい. これまでの研究の強味を活かす意味でも, 巡回的組合せ論による記述を利用できる標準版表現などの特別なクラスの表現に関してそのテンソル積の分解のより詳細な結果を得たいと考えている.
A2型の量子アフィンLie代数のFock表現のウエイト空間のShapovalov形式に関するGram行列および対称群の射影表現に関する山田氏等との共同研究に関しては, これまでは実験的な側面が多かったので, 今後はひとつひとつ問題点を明らかにしながら解決して行く段階である. 興味深いと思われる現象がいくつか現れているので, それらを対称関数環と対称群の射影表現の指標表の関係の言葉で表現・定式化し, 証明して行く方針である.
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