| 研究課題/領域番号 |
22540068
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
杉山 健一 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90206441)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | A多項式 / ３次元双曲多様体 / 結び目 / 不変量 / Weil予想 / 虚数乗法 |
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| 研究概要 |
本研究は、３次元球面内の結び目Kについて、その結び目群（すなわち補集合X(K)の基本群）と、結び目の量子不変量との関係を調べることを目標に掲げている。X(K)が有限体積の完備双曲構造を持つときに、結び目群からSL_2(C)への表現のモデュライR(K)の規約成分のうち、展開写像を用いて定義されるモノドロミー表現を含む成分は代数曲線となることがNeumann-Zagierにより知られている。我々はこの曲線にパラメトライズされる表現たちを、ペリフェラル群に制限して得られる表現の集合P(K)を調べることを目的とする。P(K)の各元について、Kのメリディアンとロンギチュードでの値をとり、その固有値を並べることにより複素平面内の代数曲線が得られるが、これをZ曲線とよぶ。Z曲線と結び目不変量との関係を探る基本的なアイデアは、次のとおりである。一般に結び目は、交叉の入れ替えにより自明な結び目に変形されるが、量子不変量は、その定義から交叉の入れ替えでどう変わるかを追うことは可能である。我々はZ曲線の交叉の入れ替えによる変化をとらえようと試みた。双曲結び目Kの一つの交叉を入れ替えて得られる結び目をK'とする。我々が本年度得た結果は、以下の通りである。
（１）KとK'の結び目群の関係を調べた。
（２）（１）の結果を用いて、Kの結び目群からSL_2への規約表現が与えられたとき、K'の結び目群の指数２の正規部分群からSL_2への規約表現を構成した。これより、Z(K)とZ(K')の関係が明らかになりつつある。
（３）Z曲線の整数論的な性質を調べた。Z曲線のヤコビ多様体 Jが虚数乗法を持つとする。定義からJ の自己準同型環はCM体Fの整数環となるが、還元する素数pがどのような条件を満たせばC(K)をpで還元して得られる曲線の有理点の個数が最大となるかを、pのFにおける分解の様子で述べた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
３次元球面内の結び目Kで、その補集合 X(K) が有限体積の完備な双曲構造を持つとする。このとき、体積、結び目群、量子不変量の３つの不変量の関係を明らかにすることが本研究の目的である。結び目が自明の時は、いずれの不変量も容易に求めることができる（ただし、体積については体積要素の取り方に注意が必要）。したがって、我々は任意の結び目について、その３つの不変量を自明な結び目に帰着して求めようと思う。すなわち、任意の結び目は有限回の交叉の入れ替えにより、自明な結び目に変換することができるので、交叉の入れ替えで、３者の変化を調べることを目標とする。量子不変量については、定義に現れるスケイン関係式から変化の様子は解っている。本年度の研究で、結び群の変化を明示的に捉えられることが分かった。一方、X(K) の体積はZ曲線 Z(K) 上定義されるBloch-Wigner 関数の特殊値であり、この関数の外微分は座標を用いて明示的に表されている。この事実を鑑みて、我々は以下のような研究計画を立てている。結び目Kの一つの交叉を入れ替えて得られる結び目をK'と表す。
（１）K'のZ曲線の定義方程式をKのZ曲線の定義方程式を用いて表す。Z曲線は平面代数曲線であり、平面の座標の取り方は結び目のペリフェラル群の基底、メリディアンとロンギチュードの取り方に依存する。したがって、KとK'について、メリディアンとロンギチュードの関係を明らかにする。
（２）KとK'のZ曲線が交叉するとき、交点でKのBloch-Wigner関数の値を求める。Bloch-Wigner関数はZ曲線上の完全１次微分形式の原始関数となるので、その取り方に定数関数の任意性がある。この計算はその任意性を取り除くのに有用であると期待する。
本年度の研究では、（１）について、おおむね満足する結果が得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
３次元球面内の結び目Kで、その補集合 X(K) が有限体積の完備双曲構造を持つとする。指標を取ることにより、Z曲線からZ(K)から新たな平面曲線が得られるがこの像を C(K)と表し、A曲線とよぶ（C(K)はZ(K)でパラメトライズされる結び目群からSL_2への表現たちの、メリディアンとロンギテュードへの制限の指標の集合である）。K'をKの一つの交叉を入れ替えて得られる結び目とする。今後、我々が調べたいことを箇条書きにする。
（１）X(K) の展開写像から得られるホロノミー表現 h が規約になるための十分条件を求める。我々は、X(K)の双曲体積が有限であれば常にホロノミー表現は規約であろうと予想している。もし予想に反して表現が可約となることがあれば、どのようなことが起こるのかを調べたい。
（２）X(K)とX(K')のホロノミー表現は規約であると仮定する。このとき、Z(K')の定義方程式を Z(K)のそれを用いて表し、結び目の量子不変量の定義に現れるスケイン関係式との関係を調べる。 A多項式とJones多項式との関係を述べた予想（いわゆるAJ予想）を鑑みて、２変数の非可換多項式環をKとK'の量子不変量の作用させて得られる消滅イデアルの変化の様子と、Z曲線の定義方程式から生成される単項イデアルの変化を比較したい。
（３）任意の結び目は、有限回の交叉の入れ替えにより自明な結び目に変形されるので、結び目群のSL_2への表現はいずれ可約となる。結び目群の普遍表現が交叉の入れ替えにより規約表現から可約表現に変化するときは、結び目の補空間に位相幾何学的に大きな変換が起きていると思われるが、その幾何学的な状況を探りたい。
（４）KとK'のZ曲線が交叉するとき、交点でKのBloch-Wigner関数の値を求める。
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