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３次元球面内の結び目Kを平面図に表して、その一つの交叉を入れ替えて得られる結び目をLとする。このときKあるいはLのA多項式を、それぞれC(K)あるいはC(L)と表して、C(K)とC(L)の関係を調べることを目標とした。それに対して得られた結果は、以下のとおりである。KとLの結び目群から、２行２列の複素行列群への一般的な表現は、ともに規約であると仮定する。我々はWirtinger表示から、KとLの結び目群を生成元と関係式により表し、交叉の前後により生成元と関係式がどのように変化するかを明らかにした。A多項式は結び目群から２行２列の複素特殊線型群への表現の、ペリフェラル群への制限表現のモデュライ（代数曲線となることが知られている）であるため、交叉の前後でKおよびLのペリフェラル群の変化を調べれば良い。ここで、交叉の入れ替えの前後で変化するのは局所的であるため、結び目群の変化の様子はWirtinger表示から明示的に計算される。この計算から、KおよびLのメリディアンとロンギチュードの関係が明らかになるが、数式で表すためにはペリフェラル群の群環を用いるのが便利である。我々はペリフェラル群の群環の変化を非可換トーラスを用いて表した。また、ペリフェラル群から２行２列の複素特殊線型群への表現は、自然にペリフェラル群の群環から２行２列の複素行列環への表現（準同型）を引き起こすが、上述の結果を用いて、C(K)とC(L)の関係を明らかにした。我々の結果から、特にKおよびLの補空間が完備な双曲構造を持つとき、それらの双曲構造のモデュライ空間の関係を記述することが可能となる。
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