研究課題
曲線の運動のハミルトン系としての特徴付けに関して、平成２３年度までの研究を更に発展させ、平成２４年度では等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間に付随する多重ハミルトン構造について考察した。可積分な発展方程式として知られるコルテヴェーグ・ド・フリース方程式は等積中心アファイン平面曲線の運動に付随しても現れるが、主な結果として、この方程式を無限次元ハミルトン系として記述する際に現れるハミルトン関数を用いて等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間の等位集合を考え、これらの集合がいわゆる多重ハミルトン構造を持つことを示したことである。平成２３年度までの研究においては、アファイン微分幾何の一種である中心アファイン微分幾何に注目し、特に中心アファイン曲面について考察してきたが、平成２４年度では射影微分幾何との関連についても考察を行った。３次元実射影空間内の曲面は自然に３次元アファイン空間内のアファイン曲面ともみなすことができる。射影微分幾何においては射影極小曲面、等温漸近的曲面など可積分系と関わる曲面族が古くから知られているが、これらと中心アファイン曲面、とくに中心アファイン極小曲面や平坦な中心アファイン曲面といった、可積分系と関わる曲面族との関連はほとんど知られていないようである。このような背景の下、研究代表者自身によって発見されていた中心アファイン極小曲面を射影極小曲面や等温漸近的曲面の言葉で特徴付けた。
2: おおむね順調に進展している
等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間に付随する多重ハミルトン構造については、まだ整理すべき点が多く課題が残っているが、中心アファイン曲面に関する研究については射影微分幾何との関連も見えつつあり、今後の進展が期待される。
等積中心アファイン平面閉曲線のなす空間に付随する多重ハミルトン構造については、得られた結果を整理した上で平成２５年度中にまとめたい。中心アファイン曲面に関する研究については射影微分幾何との関連について、余次元の高いものも含めて考察していきたい。
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Proceedings of the workshop on Differential Geometry of Submanifolds and its related topics Saga, August 4-6, 2012
巻: 未定 ページ: 未定
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/index.html
