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GaroufalidisとLeによって、有理ホモロジー球面のSU(N) free energyの任意の種数に対する項が原点の周りにおいて解析的であることを示され、更に、レンズ空間のSU(N) free energy の明確な公式が与えられた。以前の研究で、レンズ空間に対するSO(N)および Sp(N) free energy の明確な公式を与え、原点の周りでの解析性を示した。しかし、他の多様体についての明確な公式はなく、解析性をもつ領域など解析的性質の詳しい情報は知られていない。
今年度の研究では、昨年度までに得られたザイフェルトホモロジー球面のSU(N) free energy の種数０に対する公式についての研究を一般種数に発展させた。ザイフェルトホモロジー球面のLMO不変量は自明な結び目のkontsevich 不変量 Ω (wheel と呼ばれる １つのループに偶数本の辺が ついているopen Jacobi図の無限和）をもちいてあらわされ、wheel にSU(N)に付随する weight system を適用することによって摂動的不変量がえられる。よってwheel についての計算が、ザイフェルトホモロジー球面に対する明確なfree energy の公式を求める鍵となる。本研究では、SU(N) weight system の組み合わせ的計算法を利用することによって、ザイフェルトホモロジー球面に対するすべての種数についてのfree energy の公式を得た。それらは、generalized Catalan number で表される。特に、種数０に対するfree energy(planar limit)については、種数０に対するgeneralized Catalan number（変数が偶数）でかけるが、その明確な公式を得た。
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