| 研究概要 |
私の研究はホップ空間の積構造とその応用についてなされる。リー群は大きな素数で局所化すると可換となることがよく知られている。では、小さな素数で局所化した際の非可換性はどうなのかということが問題になるが、私はそれに関して次の研究を行った。SU(n)をn次の特殊ユニタリ群とすると、mがn以下のとき自然な包含写像SU(m)→SU(n)が存在する。私と長尾有晃氏はSU(n)を局所化したときの非可換性をこの包含写像でSU(k), SU(l)というふたつの群をSU(n)にいれたとき、それらがSU(n)の中で可換かどうかということで調べた。局所開始ない場合はR.Bottによりk+1>nなら可換でないことが示されているが、局所化した場合にはこの結果とギャップがあることが示された。
主G束Pのゲージ群をPの底空間の基点に制限することにより、ゲージ群からGへの全射準同型が得られる。
私と河野明氏はこの準同型が分裂する条件を、Pの随伴東の高次結合的な自明性とGの高次可換性という二つの視点から特徴付けした。このような高次構造がゲージ群により統一されることは非常に興味深いと考えられる。また、その応用として、評価ファイブレーションの連結写像を底空間のループ空間の射影空間を用いることにより具体的に記述した。これにより、連結準同型の自明性が底空間のループ空間の高次可換性で表されることがわかった。これはG.W.Whiteheadによる古典的な結果の高次一般化である。
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