| 研究概要 |
無限次元多様体をターゲットとする概正則曲線のモジュライ空間の構成を行った．具体的には，その多様体が高い対称性，可積分性を持つ場合に，モジュライ空間の線形化写像のフレドホルム性，モジュライ空間のコンパクト性を示すことで，局所コンパクト性を持たない無限次元多様体上でも，モジュライ空間の理論のメカニズムが成り立つことを示した．さらにそのような多様体を摂動することで対称性や可積分性を崩しても，その性質が成り立つことを示した．
樹木に作用する離散群は，無限次元射影空間の自己同型部分群として実現できる．一方でその上のハミルトン微分同相写像と合成することで，それら離散群の変形が得られる．無限次元多様体上でのモジュライ空間の構成の応用として，その変形に関する性質を調べた．樹木に作用する離散群のなかでも，オートマタ群は極めて重要なクラスであり，特に有限生成無限トーション群を含む．さらに状態数が小さい場合には有限群を多数持つ．このことから指数が有限であるような群の変形を持つか調べることは非常に重要であるが，特にある種のハミルトン関数のクラスによる変形については，非自明に変形したものは常に無限群になることが分かった．より詳細な解析的評価を行うことで，変形した群の元の繰り返しについて，微分ノルムが少なくとも線形増大度を持つことが示された．一方で，モジュライ空間のコボルディスムが，境界の近傍でどれだけ直積に近いかを計る，コボルディスムのエネルギーに相当する量と，上で述べた微分ノルムとの積を下から一様に押さえた, 新しい一様評価を得ることができた．
|
