| 研究概要 |
多様体上の与えられた幾何構造を保つ微分同相写像の成す群の位相的・代数的性質の解明は，幾何学の研究において重要なテーマの１つである。本研究では，非コンパクト多様体の(微分)同相群の位相的性質に関して考察してきたが, 本年度は，特に, 一様同相写像の成す群の一様位相の下での位相的性質の解明が進展した。一様位相は解析の分野でも基本的な位相として現れるが, 一様位相の下での同相群の性質は，十分に理解されていなかった。
一様位相は距離に依存し，適した距離を選ぶ事が重要である。本研究では，コンパクト多様体上の距離被覆空間となる非コンパクト距離多様体 M を考察した。まず, Edwards - Kirby のコンパクト部分集合の位相多様体への埋め込みに関する局所変形定理と Arzela-Ascoli 定理から, M への一様埋め込みに関する局所変形定理を得た。この変形定理は，一様埋め込みの定義域に関して加法性を持つので，より一般の距離多様体，例えば，幾何的な群作用を持つ距離多様体に関しても成り立つ事が分かる。特に，これらの多様体の一様同相群は一様位相の下で局所可縮となることが分かる。我々は，一様同相群の大域的な性質により関心がある。ユークリッド空間の無限遠に関しては, 相似変換と組み合わせることによって，局所変形定理から一様同相群の大域的な変形定理が導かれる。これから, さらに, ユークリッド空間の無限遠とリプシッツ同値な有限個のエンドを持つ距離多様体の一様同相群に関する変形定理が得られる。特に, ユークリッド空間自身の有界一様同相群は, 一様位相の下で可縮になることが分かる。
また，本年度は，6ECM (Poland, July) に参加し, 幾何トポロジーに関するサテライト研究集会において, 非コンパクト多様体の体積保存微分同相群についてこれまでに得た結果に関して研究発表を行った。
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