| 研究概要 |
負曲率多様体上の閉測地線の長さの分布が,素数の分布の類似がある程度あること,特に素数定理の幾何学的類似があることは,Selberg,Margulis,Pappry-Pollicottらの結果により,よく知られている.この拡張としてDirichletの算術級数定理の幾何学的類似を考える.この場合,拡大する群が有限群の場合は,上記の定理の証明で用いた数論的方法により結果が得られていた.また無限Abel群の場合にはその表現論が簡単,つまり既約表現が1次元表現となり,本質的にフーリエ変換の議論が利用できるため,ひねり付きラプラシアンの固有値の摂動論と組み合わせて証明されていた.
ここでは,それの非Abel群への拡張として最も簡単な場合と思われるべき零群の場合を考える.離散べき零群の場合は,その表現が非I型とよばれるクラスに属するため,既約表現全体を考えることには困難があり,研究が停滞していたが,本年度は.Plancherel公式に表れる有限次元表現に着目し,議論を進め,それと無限次元表現との関連を見て,半古典解析の議論を用いて摂動を議論することにより目的を達しようという方針を立てることができた.現在は構造が最も簡単なHeisenberg群の場合に詳しい解析を試みている段階である.
以上の議論はコンパクト多様体や有限グラフのべき零被覆上の熱核の長時間漸近挙動の研究との関連も深く,こちらも並行して進めている.
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| 今後の研究の推進方策 |
まず第一に進めなくてはならないことはHeisenberg群の場合に,解析を進めることで,半古典解析に現れる調和振動子の固有値の寄与を調べば良いと思われる.次に調べる対象は次にStratified Lie群の格子として現れる離散べき零群でこの場合は,準楕円型作用素の解析,Plannchere1公式の拡張などを行う.
幾何学的逆問題に関してはグラフに対する逆問題の研究が今後の発展のヒントになるかもしれないと考えている.
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