| 研究概要 |
ソリッドトーラス内の結び目で,非自明なデーン手術によってソリッドトーラスを生む結び目は,ガバイとバーギによってすべて決定されている.特に,そのような手術は高々2つしかなく,ちょうど2つ許容する結び目はただ1つしかなく,バーギによって決定された.一般に,3次元多様体内の結び目で非自明なデーン手術を行って,元の多様体と同相な多様体を得ることがある.それはコスメティック手術とよばれ,閉じた3次元多様体においては極めてまれな現象である.本年度は,境界のある多様体として最も基本的であるハンドル体に対して,コスメティック手術を許容する双曲的結び目の構成を行った.ハンドル体内の結び目に対して,境界と結び目の近傍をつなぐアニュラスがない場合,境界圧縮非自明手術は高々2個しか存在しないことが知られていた.種数2のハンドル体に対して,ガバイがそのような手術を1つもつ例を与えていたが,モンテシノス・トリックを使って,その例がもうひとつ境界圧縮手術をもつことを示した.さらに,ガバイの結び目を無限列に拡張した.これらはいずれも結び目の外部に分離的本質アニュラスを含んでおり,結び目の外部が全測地的境界をもつ双曲的多様体にはなっていない.そこで,種数2の場合にそのような双曲的結び目であって,しかもコスメティック手術を2個許容するものを構成した.モンテシノス・トリックを使用している点で,コスメティック手術のメカニズムが明らかである.また,同様の構成を種数が3以上の場合に拡張したが,分離的本質アニュラスの排除が課題として残っている.
|
