| 研究概要 |
近年,どのような3次元多様体の基本群が左不変順序を許容するかという問題に注目が集まっている.群論において,左不変順序の研究の歴史は長いが,目下,トポロジーとの関連が徐々に明らかになりつつある.中でも,ヘガード・フロアーホモロジー理論において導入されたL空間とよばれる重要な3次元多様体の族が,基本群に左不変順序を許容しないという性質で特徴づけられるのではないかという,いわゆるL空間予想が提案されたことで,世界中の多くの研究者がこの話題に取り組み始めた.以前から,L空間の位相的特徴づけは懸案問題であり,L空間予想は位相的解釈を与えるものではないが,基本群の順序構造とフロアーホモロジーとの関連は見出されておらず,予想が正しければ,未知の領域への扉が開くことにもなり,今後の発展が大いに期待される.
3次元多様体は結び目のデーン手術によって生成でき,L空間でない3次元多様体を生成することは容易である.L空間予想を支持するならば,そのような多様体の基本群が左不変順序を許容することが期待される.本年度は,代表的な双曲的結び目である2橋結び目に対して,その例外的デーン手術によって生じる多様体の基本群が左不変順序を許容することを確認した.これは,クレイとワトソンによって行われた8の字結び目のある例外的手術の場合の議論を一般化したものであり,L空間予想の信憑性を高める新たな証拠である.この成果は2つの論文にまとめ,すでに国際学術雑誌に投稿し,現在,審査中である.
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
双曲的結び目の例外的デーン手術は,レンズ手術,ザイフェルト手術,トロイダル手術の3つに大別される.前者の2つについては,L空間予想は肯定的に解決されている.本年度の成果は,2橋結び目のトロイダル手術について,L空間予想の信憑性をすべて確認するに至っている.
|
| 今後の研究の推進方策 |
最終年度である24年度は,対象とする双曲結び目のクラスを拡大して,L空間予想の確認を行うことと,2橋結び目に対する双曲的デーン手術の場合を考察する.もっとも単純な双曲的2橋結び目である8の字結び目に限っては,ある区間の手術係数の場合にボイヤー,ゴードン,ワトソンらによって行われた手法があり,その拡張を試みる.
|
