| 研究課題/領域番号 |
22540100
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| 研究機関 | 東京電機大学 |
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研究代表者 |
國分 雅敏 東京電機大学, 工学部, 教授 (50287439)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 幾何学 / 微分幾何 / 平均曲率 / ガウス曲率 / 特異点 |
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| 研究概要 |
本研究の主な研究対象は次の３つであった：（１）３次元ユークリッド空間および３次元双曲型空間の平均曲率一定曲面のボンネ曲面としての性質の研究．ボンネ曲面とは，自分自身以外に等長的だが合同ではない曲面が存在するような曲面を指す．（２）３次元ローレンツ・ミンコウスキー空間，３次元双曲型空間もしくは３次元ドゥジッター空間における平均曲率一定曲面，ガウス曲率一定曲面およびそれらを一般化した曲面の微分幾何的研究．扱った曲面は特異点を許容するもので，大域的研究においてはとくに，曲面と言うよりはむしろ波面もしくは波面的曲面と呼ぶのが適切なものである．曲面から波面に一般化することで，弱完備性，余向きづけ可能性といった，正則曲面にはない新たな概念が生まれ，研究すべき事柄が豊富になる．（３）種々の空間における曲面のガウス写像の値域となり得る多様体の適切な貼り合わせによる，新たな幾何的構造をもった空間の創出．
（１）については，特にドロネー曲面やカテノイドカズンと呼ばれる円柱に同相な平均曲率一定曲面の随伴族の中に大域的に等長な組が豊富に存在することを証明した．
（２）については，連携研究者らとの連携により，平均曲率やガウス曲率に制約を課さずにどのような一般化ができるか試みた．これについて小さな結果は得られたものの論文にまとめるレベルには至っていない．
（３）については，（２）の曲面に密接に関連したいくつかの興味深い例が観察された．しかしながら，論理的な枠組みの理解等には至っておらず，いわば‘実験’の段階にとどまっている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
平成２５年度は，３次元双曲型空間の曲面と３次元ドゥジッター空間の曲面に関し，同時進行的に研究を進め，更に，それらの理想境界における貼り合わせ（これは幾通りか考えられるが）によりコンパクト化される空間において，曲面やそのガウス写像の研究を中心に取り組むことを目標としていた．その意味では，「研究実績の概要」欄で述べた（３）に関する研究は計画通りに進まなかったと言わざるを得ない．
一方，「研究実績の概要」欄（１）に関する結果が得られたことは，満足のいくものであった．また，（２）に関する研究は今のところ表だった成果は得られていないが，今後の研究の足掛かりとなるようなものができたのではないかと自己評価している．
以上から総合的に判断して，上記区分の通りの評価とする．
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| 今後の研究の推進方策 |
「研究実績の概要」欄で述べた（２），（３）に関して，未着手・未解決の課題に取り組むことを第一とする．（２）の具体策として，双曲型空間，ドゥジッター空間およびローレンツ・ミンコウスキー空間とその曲面論について深く理解している連携研究者との連携を更に強化し，定期的な会合をより多くもちディスカッションの機会を増やす等，更なる連携の強化を図ってゆきたいと考える．（３）については，これまでの研究内容を今一度精査し，本質的な部分を抽出することに取り組み，問題解決の糸口を掴みたいと考える．一般次元，任意符号数の不定値計量をもつ空間も視野に入れ，取り組みたい．
更には，新たな課題として，特異点付き可展面の具体的な展開の挙動についても研究したいと考えている．例えば接線曲面は特異点付可展面であり，理論上は平面に展開可能であるが，その具体的な変形のパラメーター付方程式を明らかにすることなどが挙げられる．もちろんその一般化として，他の空間での考察なども視野に入れている．
今年度の研究は，今述べた観点を中心に取り組みたい．
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