| 研究課題/領域番号 |
22540107
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| 研究機関 | 関西学院大学 |
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研究代表者 |
黒瀬 俊 関西学院大学, 理工学部, 教授 (30215107)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 古典的微分幾何 / 可積分系 / 曲線の運動 / 変形KdV方程式 / ハミルトン系 / ミウラ変換 |
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| 研究概要 |
古典的微分幾何とその応用に関して、可積分系理論の手法と成果などを取りいれた現代的な観点から研究を行った。特に平成２５年度は、曲率が可積分系方程式に従って時間変化する曲線の運動を通して可積分系理論の諸結果がどのように幾何学化されるかについて調査し、以下のような成果を得た。
1. 曲率がKdV階層に属する方程式に従って時間変化する等積中心アフィン閉曲線の運動が、曲線の空間上に与えられた前シンプレクティック構造の族による多重ハミルトン系として記述できることを、これまでより簡潔な方法で証明した。この方法は、可積分系理論の深い結果を用いる点で初等的ではないが、適用範囲はこれまでより広がると考えられ、可積分系方程式が現れる他の曲線の運動において多重ハミルトン系を構成する上でも役にたつものと予想される。
2. 次の二つの曲線の運動に対して、それを曲線の空間上のハミルトン系として記述するために必要な前シンプレクティック形式を具体的に与えた: (1) ３次元ユークリッド空間の曲線の運動で、捩率が一定で変わらず、曲率が変形KdV方程式に従って時間変化するもの、(2) 単位球面上の曲線の運動で、曲率が変形KdV方程式に従って時間変化するもの。
3. 単位球面上の曲線に対して等積中心(複素)アフィン平面曲線が構成でき、この対応を通して、2の(2)で述べた運動から、等積中心アフィン平面曲線の運動で曲率がKdV方程式に従って時間変化するものが得られることを示した。これは変形KdV方程式の解からKdV方程式の解を構成するミウラ変換の一つの幾何学化を与えるものである。
なお、2の(1)に類することは３次元ローレンツ空間の曲線に、2の(2)および3に類することは双曲平面上の曲線にそれぞれ拡張される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成２５年度は古典的微分幾何における曲線の運動にかなりの重点をおいた研究を行ない、多重ハミルトン系に関してこれまでに得られた成果を改善・深化できた一方、対象となる曲線の運動を３次元ユークリッド空間や単位球面上まで広げて、曲線の空間上のハミルトン系を具体的にあたえることができた。可積分系理論の幾何学化において、一方では一つの到達点と呼べる成果が、他方では今後の礎となる成果が得られたことで、古典的微分幾何と可積分系理論の関係強化を目的とする本研究は、おおむね順調に進展しており、今後さらなる展開を期待できるものと思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究がおおむね順調に進行していることを鑑み、連携研究者の構成や役割分担、研究の連携方法などは特に変更せず、１～２ヶ月に一度程度、成果の報告・検討と研究打ち合わせを行いながら研究を推進する。特に、研究代表者はこれまでの研究成果に基づき、より多くの曲線の運動に対して多重ハミルトン系としての記述を与え、その方法を体系化することにより古典的微分幾何と可積分系理論の進展に資することを平成２６年度の課題の一つとする一方、平成２６年度が本研究の最終年度であることを念頭において、これまでの成果を再検討し、総括する。
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