| 研究概要 |
一様集合の概念は構造の一般論を扱うモデル理論にとって重要であるが,個々の数学的構造においても頻繁に現れる概念の一般化となっている.例えば,ベクトル空間における基底,代数閉体における超越基底などがモデル理論的な一様集合になっている.
ある順序で並べたときに限り,一様性を持つ集合は一様列と呼ばれ,この概念も重要な概念である.自然数順序ωで並べられた列1=(ai)iが一様列であるとは,同じ長さの部分列が常に同じタイプを持つことである.
一様列の定義は,以上のように極めて自然で,その定義の仕方はほぼ一通りになる.しかし,一様木(一様樹形図)の概念に関しては,多くの概念が存在している.Shelahの定義した一様木の概念はもっとも自然な概念の一つであるが,それ以外にも自然な概念が存在する.
我々は,一様木の概念を半順序構造としての木を記述する言語を導入して,一様木の概念(Shelahの意味の一様木,一様木,強い意味の一様木など)を統一的に導入し,その存在定理を示し,モデル理論における理論分類の研究に応用をした.
Γを一様木に要求する条件をL論理式で表現したものとする.
(1)Shelahの定義した一様木の研究:Γが弱い意味で部分木条件を満たせば,rを満たすShelahの意味の一様木が存在する.
(2)Γが部分木条件を持つとき,rを満たす一様木が存在する.
(3)上で得られた結果をlowと呼ばれる理論の研究に応用した。
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| 今後の研究の推進方策 |
筑波大学の研究員(ポスドク対応)竹内氏との共同研究を続ける.また海外では,B,Kim氏,J.Kim氏,J.Baldwin氏らとの間で共通の目的意識(解決したい問題)があるので,研究打ち合わせを密に持ちながら研究を続けてゆく.夏には,筑波で研究集会を開き,日本国内のモデル理論の研究者との間で研究課題遂行のための議論を行う.
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