| 研究概要 |
本研究の具体的な結果:位相空間Xの積空間X×XからXへの連続写像σがσ(x,y)∈{x,y}を満たすとき連続弱選択関数と呼ぶ。連続弱選択関数が存在すればそれにより擬順序が定義され、その擬順序によりXに新たに位相が定義される。これを弱選択関数により生成される位相と呼ぶ。この位相は元の位相より弱いことが知られており、Xがorderableである場合にはXで定義される任意の弱選択関数により生成される位相は元の位相と一致する。また、Sorgenfry直線は(orderableでない)suborderable空間であるが、適当な連続弱選択関数を構成することにより、それにより生成される位相が元の位相に一致することが知られている。
本研究ではXの位相がいくつかの連続弱選択関数により生成される場合に、
1.その個数とXの位相的不変量、Xの濃度、weight,characterとの関連を確立した。
また、Suborderable空間では少なくとも2つの連続弱選択関数により生成される位相により、元の位相が得られるのではないかと予想されていたが、
2.本研究ではこの問題を解決し、一般連続体仮説を仮定すれば任意の無限濃度αに対しα+個の連続弱選択関数では元の位相は生成できるがα個以下では生成できない例を構成した。ここでα+はαの次の濃度である。
3.Filterにより生成される1点のみが孤立点でない空間において2と同様な例を構成した。
一般に位相空間Xがorderableならばsuborderableであり、suborderableならばweakly orderable,またweak orderableならば弱連続関数が存在することが知られている。
本研究結果の意義、重要性:これらの結果は長年の懸案である「連続弱選択関数の存在と順序付け可能性との関連を明らかにする」という問題に対する新たな進展である。
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