正則自己同型群の研究とその複素解析学への応用

2011 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 22540167
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 清水 悟 東北大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90178971)
• 研究分担者: 児玉 秋雄 金沢大学, 理工研究域数物科学系, 教授 (20111320)
• キーワード: 関数論 / 正則自己同型群 / ラインハルト領域 / チューブ領域 / 複素幾何学 / 正則同値問題 / リー群 / 正則ベクトル場

研究概要

本研究では、正則自己同型群の研究とその複素解析学への応用を中心に、研究代表者および研究分担者の専門分野において主として、つぎのような研究成果を得た。
1.これまで行ってきた、複素多様体をその正則自己同型群により特徴付ける問題の研究に関連して、「2つのn次元複素多様体MとNに対して、それらの間の微分同型写像Fがあって、MとNの正則自己同型群がFにより共役であるとする。このときFはどういう形のものか?」という問題の研究を行った。そして昨年度に行った第1種ジーゲル領域の研究を発展させ、MとNが第1種ジーゲル領域の場合に、Fの形を決定することに成功した。具体的には、第1種ジーゲル領域DとEの間に、DとEのそれぞれの正則自己同型群の作用に関して同変な微分同型写像Fがあったとき、FはEの正則自己同型と、DからE.の上へのある特別な形の微分同型写像Gとの合成として与えられることを示した。ここでGの虚部は実部変数に無関係であり、Dの底として与えられる凸錐体VからEの底として与えられる凸錐体Wの上への微分同型写像であって、VとWのそれぞれの線形自己同型群の作用に関して同変である。またGの実部は実部変数のアフィン変換であって、その線形部分は実定数行列であり、その平行移動部分は虚部変数の関数である。
2.非有界なラインハルト領域に関する正則同値問題について基本的な結果を得た。具体的には、与えられたラインハルト領域が擬凸ですべての座標超平面の和集合Hを含み、その対数像が直線を含む場合を考察した。そしてそのような領域DとEの間に双正則写像Fがあって、FがHをHにうつすならば、DとEが代数的に同値であることを示した。この結果の応用として、初等ラインハルト領域、あるいは3次元のラインハルト領域で上記の条件を満たすものに対して、正則同値問題へ解答を与えることが出来た。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究のコアとなる内容について大きな進展をみている。また具体的な成果がまだ得られていない問題についても、その研究を通じて新たな結果、問題の知見を得ることが出来ており、研究全体としておおむね順調に進展していると言える。

今後の研究の推進方策

非有界なラインハルト領域に関する正則同値問題の研究を、研究実績の概要に述べた成果を踏まえて推し進め、正則同値問題の完全解決を目指す。そして関連した諸問題の系統的な研究も行い、それらを通じてラインハルト領域の複素幾何学的理論の構築を試みる。また複素多様体をその正則自己同型群により特徴付ける問題の研究については、研究実績の概要に述べた第1種ジーゲル領域の研究に重点を置く。さらに本研究で得られた、まだ未発表の結果を、雑誌論文、学会発表を通じて順次発表してゆく。