研究課題
D-加群や混合Hodge加群などの代数解析の手法を用いて、代数幾何や複素特異点理論などを研究した。今年度はまず近畿大学の松井優と共同で、多項式写像の無限遠点のまわりのモノドロミーについて研究し、そのJordan標準型をニュートン多面体を用いて表す公式を得た。これはDenef-Loeserらによるモチヴィックミルナー束の理論と斎藤盛彦による混合Hodge加群の応用であり、これまでのJordan細胞の大きさの上からの評価についての先行研究などと比べて、ずっと精密な結果が得られた。なおこの研究を完成するにあたり、Sabbahが以前に得ていた大変深い結果が大いに役立った。またこの方法をさらに一般化し、Esterovと共同で完全交叉代数多様体上のミルナー束のモノドロミーに関しても類似の結果を得た。この結果では、複数の多項式のニュートン多面体の面の混合体積で、Jordan標準型が記述される。こうした完全交叉代数多様体上のモノドロミーについては、これまでの研究ではごく特別な場合を除いてほとんど計算することができなかった。我々の理論でも扱えないJordan標準型の固有値1に関する部分など、今後さらにこの研究を発展させていきたい。Geifand-Kapranov-ZeleVinskyの導入したA-超幾何関数については、その無限遠点のまわりのモノドロミーの研究が完成し、論文が海外の雑誌に掲載された。これらの超幾何関数の大域的なモノドロミーについては、ほとんど何も詳しいことがわかっておらず、さらなる研究の必要性を感じている。また、この結果を不確定特異点型の場合に拡張する研究にも最近着手した。この場合は、ホロノミーD-加群の函手的な構成や、正則関数解の積分表示なども得られておらず、多くの未解決問題を先に解決しなくてはならない。
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Adv.Math
巻: 226, No2 ページ: 2040-2064
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