| 研究概要 |
ソボレフ関数について様々な角度から精力的に研究を行ってきた。ソボレフ関数とは微分がルベーグの可積分関数であるものをいう。このような関数は一般には連続と限らないが,何らかの良い性質をもつことが期待される。例えば,ルベーグ点の理論のように,積分に関する連続性が示されるディリクレ問題と関連して,ソボレフ関数が定義されている領域の境界付近での連続性は特に興味深い。これまでの研究では主に微分がルベーグのLp関数族に含まれる場合について精力的に行われてきた。Hedberg氏によって,極大関数が定める作用素がきわめて有効な道具であることが示されてから,ソボレフの埋蔵定理などの重要な定理が初等的な方法で証明できるようになった。
本研究の目的は,一般の変動指数をもつ関数空間において,極大関数の有界性を示すとともに,ソボレフの埋蔵定理などの重要な理論を展開することにある。本年度の研究において,ルベーグのLp空間よりさらに一般なMorrey空間においてもDiening氏の理論が成立することを示した。さらに,その応用として,ポテンシャル論において重要な道具となる容量(capacity)の理論を展開することができた。これからの研究において,これらの議論をさらに発展させることが求められる。
研究分担者大野は,研究代表者とともに,変動指数をもつ関数空間におけるソボレフ定理に関する研究を分担した。
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