| 研究概要 |
２次元複素双曲空間に等長変換群として作用するPU(1,2;C)の部分群の離散性を調べ離散的な群を新たに見出すことが目的であった。特にcomplex geodesicを固定するcomplex involution 3つにより生成される(n,n,infinity;k)型の複素双曲三角群の離散性を調べた。楕円型の元を含む群についての複素双曲版Jorgensenの不等式を用いてあらたに３６個の非離散的な群を見出した。また特別な元のtraceを詳細に調べ三角関数のディオファンタス方程式に関するConway－Jonesの結果などを用いることにより６個の非離散的な群を見出した。(n,n,infinity;k)型の複素双曲三角群の部分群としてFuchs群を含むようなものを見出しえていないのでこの研究に２元生成のFuchs群の結果を応用して離散性を調べる方法は応用できてはいない。一般の(p,q,r,;k)型の複素双曲三角群の生成元の３つの変形（群の生成元の取り換え）を行い既知の群との関連をしらべ変形していく様子を図で表したところlatticeの場合とそうでない場合には大きな違いが見出されたがその理由については今のところ不明である。素数の個数評価と同様な手法で軌道の点の数を評価することにより群の解析を行ったが新しい結果は見出しえていない。いくつかの群についてのArithmetic性についてはMostowらの結果を用いて調べることができた。保型関数との関連については今のところはっきりした関連のある結果を得ることはできなかった。個々の群の離散性を１個ずつ調べる以外に方法が見つかっていないのが現状である。また(n,n,infinity;k)型の複素双曲三角群の場合では代数的な方法によって見出した離散部分群以外に新しい離散部分群は見つかっていない。
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